Melhor resposta
Comece com a solução. Por exemplo, se você quiser que a solução seja x = 1, então o fator correspondente seria x – 1. Como essa é a única solução, terá que ser os dois fatores, o que torna a equação
( x – 1) (x – 1) = 0
ou
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Resposta
As soluções de uma equação quadrática são os dois pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Ou seja, são os dois valores de x que tornam y zero no gráfico.
Obtemos esses pontos fatorando a equação. Primeiro, reescrevemos a equação na forma 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Se for simples o suficiente, podemos fatorar o lado direito analisando-o. Por exemplo, se a equação é: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, com alguma prática, você pode reconhecer que isso se transforma em 0 = (x + 3) (x + 4).
O motivo a fatoração é tão importante que se o produto de dois números for igual a zero, um dos termos DEVE ser zero. Portanto, como temos 0 no lado esquerdo e um produto no lado direito (x + 3) (x + 4), um desses termos deve ser zero.
Então, x + 3 = 0 ou x + 4 = 0. Podemos resolver para x em ambos os casos e obter x = -3 ou x = -4. Isso significa que o gráfico de nossa equação cruza o eixo x em dois pontos, -3 e -4, então o gráfico desta equação é uma parábola (todas as equações quadráticas são parábolas) deslocada para a esquerda e para baixo, então os dois os braços da parábola cruzam o eixo x em -3 e -4.
Às vezes, não é fácil fatorar a equação olhando-a. Podemos usar a fórmula quadrática nesse caso. (É muito divertido derivar a fórmula quadrática – se você não sabe como e gostaria que eu lhe mostrasse, é só pedir.)
Aqui está a fórmula quadrática:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Para testá-lo, se conectarmos a, b e c de nossa equação, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, então a = 1, b = 7, c = 12, e plugando na fórmula obtemos:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} e \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 e \ frac {-8} {2} = -4. Então funcionou!
Ok, tudo isso é preliminar para sua pergunta. Sua pergunta é: quando são as soluções para uma equação quadrática infinita. Bem, vamos pensar sobre o que isso significa. Em primeiro lugar, está claro que não é possível ter uma solução no infinito, mas a outra solução finita. Se fosse esse o caso, teríamos algum número finito vezes infinito, que não pode ser igual a zero.
Então a questão é, é possível para ambos soluções para ser infinito? Qual seria a aparência disso?
Na fórmula quadrática, a única maneira de torná-lo infinito seria se a = 0. O denominador seria zero e, portanto, toda a equação seria “infinito” Mas se a = 0, então a equação não é mais quadrática, é linear, certo? Por exemplo, 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 é o mesmo que 0 = 7x + 12. Isso é apenas uma linha, é linear, não quadrática. Mas cada linha cruza o eixo x em algum lugar, certo? A única vez que isso não acontece é quando está paralelo ao eixo x. Ou seja, quando tem uma inclinação de 0. Isso significa que b = 0. Portanto, agora temos 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Em outras palavras, 0 = c. Mas então c = 0.
Em outras palavras, essa equação não existe. Como a outra resposta disse, todas as equações quadráticas cruzam o eixo x em um ponto finito. (Observe que esses pontos não são necessariamente reais! Se b ^ 2 – 4ac for negativo, a equação na verdade tem raízes imaginárias. Mas eles ainda são finitos.)