Melhor resposta
George Gamow explica como Galileu chegou a esta fórmula em seu livro “Gravidade”.
Galileu estava estudando corpos em queda. Ele queria saber a relação matemática entre o tempo gasto pela queda de um objeto e a distância percorrida. Então ele fez um experimento.
Ele construiu um plano inclinado. Em seguida, ele deixou as bolas de diferentes materiais rolarem pelo avião (Ele não as empurrou). Ele mediu as distâncias percorridas pela bola no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto segundo. Ele poderia ter arranjado diretamente a queda livre da bola. Mas a queda livre é bastante rápida e ele não tinha bons relógios naquela época. Ao realizar experimentos em plano inclinado, ele reduziu a força da gravidade atuando sobre a bola e aumentou o tempo para atingir o fundo que depende da inclinação do plano inclinado. A figura a seguir explica isso:
Pela figura, podemos mostrar que,
[matemática] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Portanto, quanto menor o x, menor será o movimento que causa a força e mais será o tempo que a bola levará para chegar ao fundo. Galileu descobriu que as distâncias percorridas pela bola no final do segundo, terceiro e quarto segundos são, respectivamente, 4, 9 e 16 vezes a distância percorrida no final do primeiro segundo. Isso mostra que a velocidade da bola aumenta de tal forma que as distâncias percorridas pela bola aumentam com os quadrados do tempo de viagem. Agora a questão era como relacionar a velocidade com o tempo dado acima da relação distância-tempo. Galileu disse que esse tipo de relação distância-tempo só pode ser obtido quando a velocidade da bola é diretamente proporcional ao tempo. A figura a seguir mostra o gráfico de velocidade versus tempo do experimento mencionado acima e a declaração de Galileu:
Na figura acima, aponte A corresponde a uma posição zero da bola (no topo do plano inclinado) e o ponto B corresponde a uma bola com velocidade v no final do intervalo de tempo t. Sabemos que a área do triângulo ABC nos dá a distância percorrida pela bola , s, no intervalo de tempo (0, t). Portanto, a distância percorrida é,
s = \ frac {1} {2} vt.
Mas de acordo com Galileo “s argumento, v é diretamente proporcional at ie v = onde a é a aceleração.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} at ^ 2. [/ math]
Portanto, a distância percorrida aumenta como o quadrado do tempo que foi nossa observação experimental. Esta fórmula fornece a distância percorrida quando não há velocidade inicial dada à bola. Mas quando a bola tem alguma velocidade inicial, u, o termo “ut” é adicionado à fórmula acima, que é a distância percorrida no tempo t na velocidade u. Este termo apenas aumentará as distâncias medidas em nosso experimento, mas manterá a mesma relação distância-tempo. Portanto, a fórmula final é:
s = ut + \ frac {1} {2} em ^ 2.
Resposta
Ao tentar provar algo relacionado para inteiros positivos, seu primeiro pensamento deve ser a indução. O problema é que não existe uma maneira imediatamente óbvia de proceder. Queremos ser capazes de adicionar algo a ambos os lados da desigualdade, mas então o limite do lado direito aumentaria.
O truque para este problema é tornar o limite mais forte do que é atualmente. Então, vamos provar a declaração relacionada
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
para todos os inteiros positivos n \ geq 3. A declaração original segue por permitindo que n se aproxime do infinito.
Observe que, para qualquer número inteiro positivo k, temos
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Sabendo disso, podemos prosseguir por indução.
Visto que \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, o caso básico n = 3 é verdadeiro.
Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum k, ou seja,
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Queremos mostrar que o declaração também vale para k + 1. Para fazer isso, adicione \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} em ambos os lados:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
A partir da desigualdade que provamos acima, isso simplifica para
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
que é exatamente o que queríamos provar.
Portanto, pelo princípio da indução matemática, a afirmação modificada é verdadeira para todos os inteiros n \ geq 3, então a afirmação original também é verdadeira.
EDITAR: Como Predrag Tosic apontou nos comentários, quando permitimos que n se aproxime do infinito, o sinal eve ser alterado para um \ leq em caso os dois lados da desigualdade convergem para o mesmo valor.No entanto, isso pode ser corrigido ao provar a desigualdade
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
para algum valor minúsculo de \ epsilon ( digamos, \ dfrac {1} {100}), que conforme n se aproxima do infinito resultaria em
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
do qual segue a declaração desejada.