Melhor resposta
Existem algumas maneiras de resolver uma equação quadrática. Você pode usar a função de solucionador Add-In. Não estou muito familiarizado com como isso funciona, mas é uma sugestão para você.
Outras maneiras com as quais estou familiarizado é criar uma tabela ou representá-la.
Suponha que temos o equação simples: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Agora sabemos que se fatorarmos isso obteremos (x + 5) (x + 2) = 0, isso significa x = -2, -5. Mas, ao mesmo tempo, podemos usar isso como um guia para ver como verificar nossa solução no Excel.
A primeira coisa que podemos fazer é criar uma tabela do Excel. O que eu gosto de fazer é configurar uma tabela Excel. Eu tenho os valores x no intervalo esquerdo de -50 a 50. Depois disso, posso simplesmente inserir a equação da seguinte forma:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
ou
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] é basicamente a referência de célula para os valores x na coluna (irei fornecer a você uma imagem de como isso funciona em breve).
Se você olhar para a equação que recebemos anteriormente, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. O que isso significa é que estamos definindo y = 0 (porque toda a equação é y). Isso significa que, em termos da tabela do Excel, precisamos procurar os valores x no lado esquerdo que terão um 0 ao lado da bainha na coluna y. Observe abaixo:
Se você notar, temos dois valores que têm um zero próximo a eles, -2 e -5. Essas são as soluções da equação.
Outro exemplo seria representar graficamente sua equação. Aqui, podemos usar nossa tabela do Excel como dados de série para plotar os pontos.
Plotar os pontos no gráfico não tornará isso óbvio de imediato. Portanto, você pode ter que ajustar o mínimo e o máximo dos eixos. No meu gráfico, ajustei o eixo x para que eles variem de -10 a 5, e o eixo y de -10 a 10.
Se você notar, o gráfico cruza x = -2 e cruza em torno de x = -5. Então, também fomos capazes de resolver a equação graficamente.
Resposta
Considero difícil que você quer dizer “difícil de fatorar”. Vamos considerar uma expressão geral de ax ^ 2 + bx + c.
Para “resolver” isso, definimos isso igual a 0 e, assim, obtemos ax ^ 2 + bx + c = 0. Encontrar x é o seu dever.
Deus, seria MUITO útil se houvesse uma solução simples que funcionasse para quaisquer coeficientes gerais. Para nossa sorte, existe, e é um tanto fácil de encontrar (não tente fazer isso com equações cúbicas ou acima, você pode tentar encontrar, mas é MUITO difícil de encontrar neste nível).
Portanto, queremos pensar sobre isso com cuidado. Qual é o problema de resolver x aqui?
Em uma equação linear normal, como ax + b = 0, é fácil. x é uma ocorrência. O problema com quadráticos é aquele formato machado ^ 2 + bx, já que nossa estratégia de subtrair uma constante e dividir para obter x não funciona, temos que ser mutilados e não podemos usar a fatoração facilmente, pois sempre haverá um déficit de x de um se tentarmos fatorar por x ou x ^ 2.
Bem, droga, o que fazemos aqui então? Temos uma parte quadrada, o que deve significar que devemos de alguma forma obter algo ao quadrado, como (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, onde podemos mais tarde adicionar como f para ser uma constante que podemos facilmente subtrair como nosso exemplo de equação linear. Claramente, o? deve conter um x singular em algum lugar, mas também precisamos adicionar uma constante à parte x, já que a propriedade distributiva vai mutilar a constante com x, e fazer isso também com xe ela mesma, e uma constante, criando um singular x, sem expoente. Então, seremos capazes de obter a raiz quadrada de quaisquer constantes que temos do outro lado e, em seguida, resolvê-la como uma equação linear.
Então, vamos entrar na referida posição.
Vamos dividimos nossa equação original de ambos os lados por a, para que eu possa obter um x ^ 2 puro e não preciso usar \ sqrt {a} como coeficiente, o que será mais complicado.
Obtemos x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Ok, então nossa forma de? deve ser x + k, pois não pode haver um coeficiente de x que não seja único, pois a distribuição não resultaria em um x ^ 2 “puro”. O que é k então? Bem, vamos pensar aqui um pouco – queremos forçar de forma a obter hx = \ frac {b} {a} x. Sempre que eu elevo ao quadrado algo, e há dois termos sendo adicionados, devo usar a distribuição para ir ‘por partes’. Já que quando eu elevo ao quadrado, eu multiplico essa quantidade (os dois termos sendo somados) por si mesma, eu terei como mencionado x ^ 2 do termo x, uma constante do termo k, mas também kx passando por k em a primeira quantidade multiplicando ax no segundo, ex e k de outra forma, mas eu os adiciono para obter 2kx. [para ver isso, escreva (x + k) (x + k), distribua para obter (x + k) x + (x + k) k. Agora, distribua-o e desenhe os caminhos para obter x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, o que dá x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Então, o que quer que seja este k vai ser, temos que ter 2kx = \ frac {b} {a} x mas isso significa k = \ frac {b} {2a}. Ok, AGORA estamos chegando a algum lugar.Lembre-se de que estamos elevando ao quadrado, some (x + k) ^ 2, e quando eu expandir get (x + k) (x + k), vou seguir um caminho de multiplicação por distribuição. Um desses caminhos que devo seguir é k vezes k, mas já sabemos o que é k, então devemos ter alguma constante k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Então, vamos apenas adicionar isso aos dois lados, o que podemos fazer, já que é constante, e não nos importamos com a constante que obtemos do outro lado, queremos apenas fatorar adequadamente essa bagunça.
Então, fazemos exatamente isso e obtemos
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
E agora, temos todos os termos que nos permitem fatorar isso em a (x + k) ^ 2 = formato constante, exatamente o que queríamos! Descobrimos que k é \ frac {b} {2a}, então apenas fatoramos isso.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Agora queremos arrumar essa bagunça, observe que, eventualmente, iremos obter a raiz quadrada uma vez que subtrairmos as constantes, e temos em um termo um denominador de 4a ^ 2, que tem raiz quadrada muito facilmente. Tornemos c / a compatível com isso, multiplicando-o por 1, o que não muda nada, mas 1 = 4a / 4a. Não precisamos nos preocupar com a = 0, pois, se fosse, teríamos uma equação linear, que não é onde estamos focados.
Então, obtemos (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Ótimo, agora subtraia o segundo termo, pois eles têm denominadores comuns, e nós obter
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
E o lado direito é constante agora , podemos enraizar ambos os lados facilmente!
Obtemos
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Isso não está totalmente correto, pois temos que perceber que quando eu ergo a raiz ao quadrado de um número positivo, d ^ 2, d pode ser positivo ou negativo. Portanto, para uma boa medida, adicionamos um sinal de mais ou menos e obtemos
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
E agora podemos subtrair esse k, pois agora temos uma equação linear para resolver, como queríamos, e obtemos
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}