Melhor resposta
Uma transformação de matriz é em se e somente se a matriz tem uma posição pivô em cada linha. Reduza a linha e verifique se o número de pivôs é igual ao número de linhas.
Ok, com isso fora do caminho, preciso fazer meu discurso agora.
Sempre que alguém aplica o adjetivo “em” ou “linearmente independente” a uma matriz, eu me encolho um pouco. Isso é um erro de categoria. Em vez disso, diga: “Como você sabe se uma matriz transformação está ligada?”
Veja, a terminologia é muito importante em matemática . A beleza da álgebra linear é que dado um sistema linear ou transformação linear, você pode escrever uma matriz, que é apenas um retângulo com números associados a aquele sistema linear ou transformação linear. Então, fazer várias coisas com a caixa de números fornece de volta todos os tipos de informações sobre o sistema ou transformação original. A álgebra linear é principalmente o estudo dessas relações. No entanto, a maioria dos alunos de álgebra linear, quando usam a terminologia de forma inadequada, revelam que não entendem muito bem como existem conceitos separados para relacionar.
O adjetivo “em” simplesmente não se aplica a matrizes. É como perguntar: “Como você pode saber se uma cama está com sono?” O fato de você estar fazendo esta pergunta significa que você não entende o que sonolento significa ou o que cama significa, ou ambos.
Aqui está uma folha de dicas com os principais tipos de objetos encontrados na álgebra linear, junto com algumas das terminologias mais comuns usadas para descrevê-los:
Para matrizes A, B , as seguintes frases não são rabiscos:
– A está em (forma escalonada linha / forma escalonada linha reduzida)
-pivô (posições / linhas / colunas ) de A;
-A é (quadrado / diagonal / invertível / triangular superior / triangular inferior)
– (Classificação / Determinante / Valores próprios / Vectores próprios / Polinomial característico) de A
– (espaço nulo / espaço de coluna) de A;
– A é (linha equivalente / semelhante) a B
-A transformação da matriz \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Se A x = b é um sistema de equações lineares , as seguintes frases não são rabiscos:
– (Solução / Conjunto de soluções / Solução geral) do sistema
-O sistema tem (uma solução única / nenhuma solução / infinitas soluções / n variáveis livres)
-O sistema é (consistente / inconsistente / subdeterminado / sobredeterminado)
– (Matriz de coeficientes / Aumentado matriz) do sistema
Se T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m é uma transformação linear , o seguinte frases não são gibberi sh. Observe que se A é uma matriz, então pode-se falar da transformação de matriz \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, que é uma transformação linear.
– (Domínio / Codomain / Intervalo) de T
– T é (para / um-para-um / invertível)
-Matriz padrão de T; matriz de T em relação às bases \ beta\_1, \ beta\_2
– (Classificação / Determinante / Valores próprios / Vectores próprios / Característica polinomial) de T
Se S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} é um conjunto de vetores em \ mathbb R ^ m , as seguintes frases não são rabiscos. Observe que se A é uma matriz m \ vezes n, então as colunas de A formam tal conjunto.
– S é linearmente (independente / dependente)
-Espão de S
-S (spans V / é uma base para V ), onde V é um subespaço de \ mathbb R ^ m
Resposta
Uma matriz quadrada de dimensão finita é on, caso seu determinante seja diferente de zero. Você pode verificar isso de forma mais eficiente com a eliminação gaussiana.
De modo mais geral, uma matriz retangular finita é on apenas no caso de sua transposição ser injetiva, o que ocorre apenas no caso das linhas (ou colunas) da matriz original, dependendo da convenção que você usa para qual é a entrada e qual é a saída) são linearmente independentes, ou seja, a matriz tem classificação de linha completa. Mais uma vez, a eliminação de Gauss é sua amiga: coloque a matriz na forma escalonada de linha e verifique se a entrada inferior direita é zero (equivalentemente, se existem linhas com todos os zeros). A matriz está ligada se e somente se a entrada inferior direita for diferente de zero.