Melhor resposta
Nenhuma das frases está gramaticalmente correta. Ambos têm uma incompatibilidade entre a palavra “entrega” no singular e a palavra “eles” no plural. Ele deve ser: “Agilize a entrega conforme nosso cliente precisa com urgência” ou, se houver mais de um pacote, “Agilize as entregas, pois nosso cliente precisa delas com urgência”. Quanto à frase que você deve usar depois de corrigir essa incompatibilidade, depende se você está recebendo a remessa para você ou em nome de um cliente e se ela está sendo entregue a você ou ao cliente. Se o item está sendo entregue a você para seu próprio uso, o segundo seria o correto. Você não se referiria a si mesmo na terceira pessoa como “o cliente”. Se você deseja que seja enviado a você para um de seus clientes, você pode usar qualquer um deles. Se ele estiver sendo enviado diretamente para o cliente, você deve usar o primeiro. Embora o remetente provavelmente não se importe com quem precisa disso com urgência, você poderia simplesmente dizer: “É necessário com urgência”.
Resposta
Existem diferenças no significado dos dois frases: ”nosso cliente” não é “nós”.
A segunda ocorrência de “precisar” deve ser “precisar” e não “precisar”.
É uma pena que apenas nós tem uma frase tão limitada. Não sabemos do que se trata. Eu ficaria tentado por: “por favor, agilize a entrega, pois nosso cliente precisa das mercadorias / dispositivos / itens (aqueles …) com urgência”. Para ser mais preciso.