Melhor resposta
Certa vez, eu estava ensinando matemática para alguns alunos do ensino médio em uma escola particular exclusiva. Tive um aluno que era arrogante e constantemente incomodava a mim e aos outros alunos. A administração não apoiou minhas tentativas de discipliná-lo. Eu descobri esta solução:
Eu disse a ele que se ele pudesse encontrar um padrão para números primos, de forma que ele pudesse prever o próximo, ele poderia ganhar muito dinheiro e ser famoso. Ele gostou do desafio e começou a se dedicar a ele. Ele tinha páginas e mais páginas de cálculos e nunca mais me incomodou. De vez em quando, eu mostrava algum interesse em seu trabalho e ele dizia algo como: “Acho que estou no caminho certo …”
Eu sabia que ele não encontraria nada, porque sabia que não existe um padrão para os números primos. Pode haver algumas áreas locais onde parece que existe um padrão, mas não existe um padrão geral e nenhuma fórmula para prever o PRÓXIMO número primo sem TESTAR.
Pense desta forma. Você é um homem do Paleolítico que descobre que 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são primos. Você se pergunta qual será o próximo primo. Não há como encontrá-lo sem alguns testes. Você pode testar 14. Não. 15, não. 16, não. 17, Bingo.
Você só precisa testar os fatores até e incluindo a raiz quadrada do número (no caso de 17: 2, 3 e 4) porque o próximo número será muito grande, mas você precisa TESTAR. Este teste leva muito tempo computacionalmente. Esta é a base atual da criptografia. Se pudéssemos prever o próximo primo, todas as nossas senhas estariam nuas.
Os matemáticos parecem odiar admitir que existe esse CAOS no meio dos números, mas há, e eu acho isso adorável.
Como posso saber se não existe um padrão?
Padrão: (definição de dicionário) • um arranjo ou sequência REGULARMENTE encontrada em objetos ou eventos comparáveis. • uma forma REGULAR e inteligível ou sequência discernível em certas ações ou situações.
Portanto, um PADRÃO implica REGULARIDADE ou REPETIÇÃO. REPETIÇÃO implica MULTIPLICAÇÃO porque MULTIPLICAÇÃO é ADIÇÃO REPETITIVA. Multiplicação implica FATORES, e não podemos ter fatores se for primo.
Calcular: (definição) determinar (a quantidade ou o número de algo) matematicamente. Não determinamos se um número é primo MATEMATICAMENTE. Nós fazemos isso EXPERIMENTALMENTE.
Eu acho que os primos não têm um PADRÃO, mas parecem ter certas TENDÊNCIAS. Eles tendem a se tornar mais esparsos à medida que as quantidades aumentam, mas de repente … você vê dois juntos. Estes são chamados de primos gêmeos. Exemplos: (41, 43), (137, 139). Ninguém sabe se os primos gêmeos, como os primos, são infinitos. Não foi provado.
Wikipedia: “O maior par primo gêmeo atual conhecido é 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 com 388.342 dígitos decimais. Foi descoberto em setembro de 2016. ” Dois primos – Wikipedia
Assim como os próprios primos, não há nenhuma maneira de prever quando esses primos gêmeos virão ao longo. (PODE ser possível provar se eles acabam. Experimente.)
Algumas pessoas pensam que existem “padrões” na Espiral de Ulam. Espiral de Ulam – Wikipedia
NO ENTANTO, se você baixar a figura e ampliá-la, verá algumas linhas retas surgirem e depois DESAPARECER. Os números primos são infinitos. Então, é claro que estatisticamente (em nosso sistema ARBITRÁRIO Base 10) algumas linhas retas aparecerão às vezes, como ao jogar moedas, você às vezes obterá uma grande sequência de cabeças.
(Além disso, a espiral de Ulam usa quadrados. Acho que uma espiral diferente aparecerá se você usar outras formas de preenchimento de área: triângulos ou hexágonos.)
A ciência trata de encontrar padrões para prever. Podemos prever quando será o próximo eclipse lunar, podemos prever quando o sol nascerá amanhã, podemos prever quando a água vai congelar e ferver, mas NÃO PODEMOS prever o próximo número primo.
Resumo: Você pode conseguir pegar a cobra, mas não sabe para que lado ela vai se torcer.
Nota: Esta resposta é principalmente com base na minha resposta anterior aqui:
A resposta de Bill Lauritzen para Existe um prêmio para quem descobrir o padrão em números primos?
Resposta
É verdade que a distribuição dos números primos pode parecer aleatória (e é até certo ponto). No entanto, as ferramentas da teoria analítica dos números nos dão uma visão crucial sobre a distribuição dos números primos e revelam muitos padrões interessantes
Deixe \ pi (x) representar o número de números primos \ leq x onde x é uma variável real positiva.
De acordo com o teorema dos números primos , do qual não conheço uma boa prova elementar (o mais simples que conheço usa análise complexa), o seguinte é verdadeiro para \ pi (x) quando x se aproxima do infinito:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
O ~ representa assintótico equivalência, cuja ideia principal é que a função \ pi (x) chega muito perto da função \ frac {x} {\ log x}, com a aproximação ficando cada vez melhor à medida que x fica cada vez maior.
Para aqueles familiarizados com cálculo elementar, f (x) \ sim g (x) se o limite quando x se aproxima do infinito de \ frac {f (x)} {g (x)} é 1.
Como de costume em matemática superior, log representa o logaritmo natural. Isso também implica que se p (n) representa o n-ésimo primo, então:
p (n) \ sim n \ log (n)
Outro colorido fácil é que se você escolhe um inteiro aleatório dos primeiros n inteiros positivos, a probabilidade de que seja sobre \ frac {1} {\ log n}
Outra forma do teorema dos números primos que é um pouco menos intuitiva mas empiricamente mais preciso é o seguinte:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Em ambos os casos, a esquerda lado é um número inteiro, enquanto o lado direito é alguma função transcendental horrível (que podemos avaliar um pouco mais facilmente do que o esquerdo estranhamente). De qualquer forma, deve haver algum erro se aproximarmos \ pi (x) como \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Não sei bem o melhor limite de erro comprovado até o momento, mas se a hipótese de Riemann for verdadeira, podemos melhorar o erro associado a:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Da mesma forma, se o limite de erro for verdadeiro, também podemos provar o Riemann hipótese. O problema desse limite de erro é que ele é estreito: sabemos que não podemos fazer melhor.
Eu diria que o teorema dos números primos é provavelmente o resultado mais importante e interessante na teoria analítica dos números. / p>
tl; dr, os números primos seguem assintoticamente uma distribuição que é como uma função analítica relativamente fácil, então sim, há um padrão.