Melhor resposta
A resposta curta é, sim, a intervalo de uma matriz é o mesmo que seu espaço de coluna, mas há uma sutileza.
Dado algum número m, podemos ver esse número como uma constante, ou como um meio de definir uma função linear, f (x) = mx. Na mesma linha, podemos ver uma matriz \ mathbf {M} tanto como uma matriz de números (enfadonha), ou como um meio de definir uma função linear f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
O termo intervalo se refere ao conjunto de saídas que f () pode retornar e é normalmente definido como uma propriedade de funções, não números.
O espaço da coluna , por outro lado, é normalmente definido como uma propriedade da própria matriz. E uma vez que o espaço da coluna é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis (também conhecido como span ) de as colunas de \ mathbf {M}, isso pode ser escrito como \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, que é o intervalo de f acima.
Resposta
O intervalo de uma matriz é o intervalo da matriz vista como uma transformação linear. Uma matriz A n-por-p (real) também é uma transformação linear de R ^ p para R ^ n (o espaço euclidiano p-dimensional para o espaço euclidiano n-dimensional). O domínio é R ^ p e o intervalo consiste de todas as combinações lineares das colunas de A, ou seja, o conjunto \ {Ax: x \ in R ^ p \} (vetor coluna xa.)
Se A tem classificação p, então o intervalo tem classificação p, e isso é possível se n> = p.
O mesmo se aplica a uma matriz complexa A como uma transformação linear de C ^ p para C ^ n, onde C é o campo de números complexos.