Melhor resposta
2 + 2 =? parece ser um dos problemas mais fáceis da matemática e provavelmente um dos primeiros que você já encontrou. Se Kate tiver 2 maçãs e Matt der a ela mais 2 maçãs, ela terá 4 maçãs. Obviamente.
Mas e se dissermos que 2 + 2 =? confundiu até mesmo alguns dos matemáticos mais espertos porque não necessariamente tem que ser igual a 4? Você provavelmente está se perguntando como isso é possível. Uma prova é: um conjunto de etapas lógicas adquiridas por meio da dedução (portanto, não dando saltos gigantes na lógica, a menos que por definição) e, portanto, empiricamente (a partir das evidências fornecidas), resultando em uma equivalência direta (sendo, entre outros tipos de equivalência, mas principalmente, na permutação, multiplicativa / aditiva e negativa / positiva e par / ímpar. .. metamatemática) de estados, que “a distância mais curta é (em termos absolutos), ou infinito, zero e / ou, também, um.
Na verdade, a tentativa de” prova “de 2 + 2 = 5 é baseado em um tipo distorcido de trigonometria, que era em essência a fonte do cálculo de hoje (apenas tente desenhar tangente ou secante sem correr para a ideia de derivada e integral de cálculo, respectivamente), e realmente é o resultado de qualquer equavalência aditiva de quaisquer dois números “para serem iguais a qualquer número, (b porque medir a hipotenusa de um determinado lado é essencialmente multiplicativa, portanto, parcialmente irracional).
(O que me faz pensar … há um equivalente 2 * 2 = 5? e a resposta é um retumbante, sim! Mas primeiro a “prova” escrita por Charles Seife.)
Sejam a = be aeb = 1. Agora verifique isso…
b ^ 2 = ab … (eq.1)
Visto que a é igual a si mesmo, é óbvio que
a ^ 2 = a ^ 2 … (eq.2)
Subtraia a equação 1 da equação 2. Isso resulta em
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (eq. 3)
Podemos fatorar ambos os lados da equação; (a ^ 2) -ab é igual a a (a-b). Da mesma forma, a ^ 2-b ^ 2 é igual a (a + b) (a – b) (Nada estranho está acontecendo aqui. Esta afirmação é perfeitamente verdadeira. Insira os números e veja por si mesmo!) Substituindo na equação 3, nós obter
(a + b) (ab) = a (ab) … (eq.5)
Até agora, tudo bem. Agora divida os dois lados da equação por (ab) e obtemos
a + b = a … (eq.5)
b = 0 … (eq. 6)
Mas definimos b igual a 1 no início desta prova, então isso significa que
1 = 0 … (eq.7)
… De qualquer forma, chegar tão longe nos dá a essência da prova, mais tarde na prova, Charles Seife passa a provar que Winston Churchill era uma cenoura! se você quiser saber como isso é possível, recomendo que leia o livro.
A partir da equação 7, adicione um número a cada lado e faça com que seja igual a qualquer outro número, um maior que ele.
Multiplicando a equação 7 depois de somar a ela, pode-se obter: qualquer número é igual a qualquer outro número.
Portanto, conceitualmente, qualquer número é igual a zero e, teoricamente, que inclui o infinito. Mas essa também é a razão pela qual quando você divide por zero, é “Indefinido”. O que, conseqüentemente, é o que está acontecendo nesta equação … apenas substitua 1 na equação 3 e verá que estamos dividindo por zero na equação 5.
Isso é o que levou à invenção do cálculo. Realmente, daqui este segways para o Espaço de Hilbert … mas é melhor deixar para outra entrada, espero, sobre o assunto real da quantização .
Isso é tudo que tenho tempo para …
ESTA PROVA É POR DEFINIÇÃO INCORRETA, mas fornece uma boa ferramenta para explicar por que definimos as coisas em matemática da maneira que fazer.
Uma boa pergunta a se fazer a partir daqui seria (com base em minha tangente anterior):
Será que 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? Ou é igual a apenas zero vírgula nove repetindo? Fonte: Zero: Biografia de uma ideia perigosa de Charles Seife
Resposta
Vou começar assumindo a base 10.
Peano apresentou esses axiomas em uma tentativa para formalizar a aritmética. Embora não tenham sido provados para serem consistentes, por si só, eles são considerados como tais, razoavelmente. Embora eu normalmente não considere 0 como um número natural, torna este processo um pouco mais fácil, começar definindo zero como o primeiro número natural, ou seja, 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano então passa a definir o seguinte sobre igualdades com os naturais:
- Igualdade é simétrico . (ou seja, \ alpha = \ beta \ implica \ beta = \ alpha)
- A igualdade é reflexiva . (ou seja, \ alpha = \ alpha para todo natural \ alpha)
- A igualdade é transitiva . (ou seja, se \ alpha = \ beta e \ beta = \ gamma, então \ alpha = \ gamma)
- Os naturais são fechados por igualdade. (se \ alpha é um número natural e \ alpha = \ beta, \ beta também é um número natural)
Devemos agora introduzir a função sucessora, que é injetivo , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ implica \ alpha = \ beta) \ text {denotado} S. Os naturais são fechados sob a função sucessora.A função sucessora recebe um número natural e produz seu sucessor. Ie. S (0) = 1 e S (1) = 2.
Não há nenhum número para o qual 0 seja um sucessor.
Usando a função de sucessor, podemos determinar o primeiro poucos naturais,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, onde \ mathbb {N} é interpretado como um conjunto. Segue-se, portanto, que S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Com isso dito, podemos definir a aritmética, usando o função sucessora.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Estamos diante desse problema covarde, 2 + 2 que tem atormentado os matemáticos por séculos.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {por def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { por definição}} 4.
\ portanto, 2 + 2 = 4 \ quadrado preto.