Melhor resposta
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70295″ é apenas idiv. “> muitos formulários usados para representar números. É uma forma tão comum, no entanto, que muitos (sem culpa própria) passam a associar o número à própria forma. E se dois números têm duas formas diferentes, então eles devem ser números diferentes, certo?
Mas e os dois números a seguir:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
Muito diferente representações , mas ao examinar e fazer os cálculos / cancelamentos necessários, você quase certamente acreditará que essas duas formas representam o mesmo número .
Por quê?
Porque quando aprendemos sobre frações, aprendemos desde o início que duas frações podem ter o mesmo número e que estão em forma reduzida se o numerador e o denominador não tiverem fatores comuns superiores a 1.
E nos agarramos a isso.
Estamos convencidos disso pela experiência e repetição dessa experiência, e podemos usar diferentes formas para verificar essa experiência.
Nem tanto com “decimais”, muito menos com outras posições formas.
O bom sobre as representações decimais de números é que para a maioria dos números (em um certo sentido técnico), a forma decimal é realmente único (mas na maioria desses casos – no mesmo sentido – é impraticável escrever todos os detalhes, vamos colocar dessa forma).
Existem algumas exceções, no entanto. Por “poucos”, quero dizer que em comparação com todo o “lote” de números que podem, em princípio (se não na prática) ser escritos em decimal.As exceções são aqueles números que são racionais e seus denominadores (em forma reduzida) têm apenas potências de 2 e / ou potências de 5.
A ferramenta que você precisa para entendê-la é a essência de uma série geométrica convergente.
Uma série geométrica convergente (infinita) é uma série da forma
\ displaystyle {\ qquad a + a \ vezes r + a \ vezes r ^ 2 + \ ldots + a \ vezes r ^ n + \ ldots.}
Quando a série termina após algum número finito de termos com maior potência N é bastante fácil de confirmar que a série soma
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
e perguntamos o que significa ter uma soma infinita. A definição convencional é que os termos ficam menores rapidamente o suficiente para que o valor total se aproxime de um limite finito conforme N se torna arbitrariamente grande. Investigar essa ideia nos leva a uma condição, que é a de que a razão comum r deve estar entre (mas não pode ser) -1 e 1. Ou, | r | , equivalente a -1 .
Então a fórmula se torna
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
como o termo r ^ N \ to0.
Agora lembre-se de como a notação decimal é definida: na verdade, é apenas uma abreviação para uma série da forma
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
onde k é a maior potência diferente de zero de dez que é menor que o número e a\_i, b\_j são os dígitos decimais (inteiros de zero a nove).
O número 9,999 \ ldots = 9. \ dot9 é um número desta forma, onde k = 0, e a\_0 = 9 = b\_j para todos os inteiros positivos j. Felizmente, isso nos dá precisamente a forma de uma série geométrica! (Observe que cada número na forma decimal onde os dígitos são diferentes de 9 à direita é delimitado acima por uma série como esta.)
Podemos apenas inserir as coisas: o primeiro termo é a = 9 , e a proporção comum é r = \ frac {1} {10} . Então, imediatamente sabemos que esta série converge!
Obtemos
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Muito legal.
Existem, é claro, outros truques para você posso usar para provar que 9. \ dot9 = 10 (em decimal, de qualquer maneira …), mas a melhor coisa (na minha mente) é entender algo sobre o que a notação significa e como funciona – e então é fácil entender com o fato de que, mesmo na notação posicional, nem todo número é representado de apenas uma maneira.
Em geral, se tivermos uma base b válida, o número representado nessa base posicional com a forma 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots é sempre igual a 1. Assim, em binário (por exemplo), onde 0,1 = \ frac {1} {2}, temos 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. O “método” de série infinita funciona da mesma maneira para provar este resultado.