Melhor resposta
Existem muitas respostas boas escritas para ajudá-lo a visualizar o que esta pergunta significa, a fim de chegar intuitivamente a um resposta de 3. E nada do que escrevo aqui tem a intenção de diminuir o valor dessas respostas. Eles estão ajudando novos alunos a pensar sobre a ligação entre matemática e modelagem de uma forma concreta, e essa é uma habilidade ENORME.
Dito isso, matemática não é modelagem. Portanto, uma maneira alternativa de pensar sobre esse problema é de uma perspectiva puramente matemática. E se você desenvolver essa habilidade, você estará trabalhando para ser capaz de lidar com tipos de matemática mais abstratos que muitas vezes encerram a carreira de matemática de alunos que contam exclusivamente com uma abordagem mais centrada no modelo e intuitiva. p> Você perguntou “O que é 3/4 dividido por 1/4?”
Bem no meio da sua pergunta, você usou o termo “dividido por”. Para um matemático, essa é uma pista para pesquisar imediatamente a DEFINIÇÃO de divisão. As definições são os tijolos sobre os quais a matemática é construída.
Uma definição de divisão (neste contexto) é:
Dados dois números, aeb (com b \ ne 0), a dividido por b é c se c vezes b for igual a a.
Agora eu sei o que “dividido por” significa. Podemos aplicar essa definição ao seu problema? Bem, você pergunta sobre 3/4 dividido por 1/4. Parece que você tem dois números (o segundo não é zero) e quer saber o resultado do primeiro dividido pelo segundo. Portanto, parece que essa definição é EXATAMENTE o que você precisa.
Então, agora o jogo começa. A resposta para o problema será qualquer número, c, de modo que \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Aqui estão as boas notícias. Agora sabemos como verificar se alguma resposta é a resposta certa ou não. Nós apenas multiplicamos 1/4 pela resposta do candidato e se o resultado for 3/4, a resposta do candidato está correta.
A má notícia é que se a resposta do candidato NÃO estiver correta, não estamos mais perto de encontrar a resposta correta. Em outras palavras, a definição não nos ajuda a ENCONTRAR a resposta certa. Isso só nos ajuda a verificar se a resposta do candidato está certa.
Então, o que podemos fazer? Tentativa e erro para sempre parecem uma má ideia. Parece que agora é hora de inventar uma regra que sempre nos dará a resposta correta.
Proponho esta regra. Dados dois números a e b \ ne 0, a dividido por b deve ser sempre igual a a vezes o recíproco de b (freqüentemente denotado como \ frac 1b).
Antes de podermos usar esta regra, é claro, devemos ter certeza de que sempre funciona. Isso é o que chamamos de prova. A prova aqui é fácil, pois a regra me dá uma solução candidata e a definição me diz exatamente como verificar uma solução candidata.
É verdade que a \ times \ frac 1b = a dividido por b? Bem, a definição diz que a resposta será c se c vezes b for igual a a. Então, podemos multiplicar nosso candidato, a \ times \ frac 1b por b para obter a? Como a multiplicação é comutativa, podemos claramente. E a regra está comprovada. (Acabamos de provar nosso primeiro teorema sobre a divisão. Se as definições estão na base da matemática, os teoremas e as provas são a argamassa que os mantém unidos e permite que sejam usados para construir grandes estruturas.)
Então é isso parece que a resposta ao nosso problema é que 3/4 dividido por 1/4 deve ser igual ao produto de 3/4 e o recíproco de 1/4. Ótimo! Certo?
Bem, agora mudamos nosso problema de divisão em dois problemas. Um é um problema de multiplicação. A outra é “Como faço para encontrar o recíproco de 1/4?”
Vou assumir que você sabe como multiplicar números, então, na verdade, só temos uma pergunta sobre como encontrar recíprocos. Na verdade, esse é apenas mais um problema de divisão. Na verdade, agora estou pedindo que você encontre 1 dividido por 1/4. Isso não parece uma vitória no começo, porque estou de volta à divisão. Mas eu afirmo que é uma vitória porque passamos de ter que descobrir como dividir QUALQUER a por b agora apenas ter que encontrar 1 dividido por b para qualquer b diferente de zero. E a boa notícia é que é FÁCIL aprender a adivinhar o recíproco correto. E uma vez que você adivinhe, você pode verificá-lo, pois é exatamente o que a definição diz como fazer.
O recíproco de 1/4 é 4. Podemos verificar que, como o recíproco significa 1 dividido por 1 / 4, e a definição diz que 4 é a resposta, desde que 4 multiplicado por 1/4 dê 1. E de fato isso é verdade.
Então, finalmente, aprendemos que 3/4 dividido por 1 / 4 é igual a 3/4 vezes 4. E como eu sei como multiplicar (por exemplo, somando 4 cópias do número 3/4), concluo que a resposta é 3. E se eu for realmente cuidadoso, eu volte e verifique o resultado usando a definição apenas para ter certeza de que não cometi nenhum erro. Então, 1/4 multiplicado por 3 é igual a 3/4? De fato é, então 3 foi agora verificado como a solução correta.
Agora, essa resposta parece MUITO longa e complicada – especialmente para um iniciante em matemática. Entendi.Na verdade, você obterá a resposta muito mais rápido com uma calculadora ou Google ou usando algumas técnicas (não comprovadas para você) que a maioria de nós aprende desde cedo na escola. Mas esse não é o ponto, de forma alguma.
O que realmente aprendemos não é a resposta para ESSE problema. O que realmente aprendemos é que fazer a divisão de QUAISQUER DOIS números requer que saibamos como fazer duas coisas. Primeiro, temos que saber dividir UM por qualquer número (diferente de zero) para obter um recíproco. Em segundo lugar, precisamos saber como multiplicar quaisquer dois números. E essa verdade é muito mais interessante e profunda do que saber a resposta para essa pergunta. Perdoe a metáfora exagerada, mas ela está ensinando um homem a pescar em vez de lhe dar um peixe.
E o verdadeiro poder é que ela coloca a divisão em um contexto que permite que seja generalizada. E generalizações da divisão de dois números levam a ideias importantes. E é disso que se trata a matemática!
Resposta
Michael Lamar explica muito bem em sua resposta por que entender a noção abstrata de divisão é matematicamente mais importante do que a resposta específica para \ frac34 \ div \ frac14, então vou mergulhar direto na generalização:
O que é \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
Em a Campo todo elemento diferente de zero a tem um inverso multiplicativo único a “de modo que
\ quad a \ times a” = a ” \ times a = 1 a identidade multiplicativa.
A divisão é definida em termos de multiplicação:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
O inverso multiplicativo de uma fração é dado pela inversão da fração porque:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1, portanto, \ left (\ frac {p} {q} \ right) “= \ frac {q} {p} (exceto para p = 0).
Portanto, nossa divisão é dada por:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Para um matemático iniciante, isso responde à questão, pelo menos no contexto de um Campo. O verdadeiro (puro) matemático desejará ver como pode generalizar mais.
Outros estarão mais interessados em obter a resposta específica para a pergunta original instanciando n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 para obter:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Ainda não bastante 3, mas você pode chegar lá com um pouco mais de abstração: um exercício que deixarei para o leitor interessado.
A propósito, para aquele matemático iniciante, você pode querer verificar se no campo finito \ mathbb F\_5 temos:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 porque \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 e \ frac12 \ equiv3