Melhor resposta
Do ponto de vista teórico probabilístico, um campo aleatório é uma família de variáveis aleatórias indexadas por uma variedade.
Deixe-me explicar:
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, onde para cada t, X (t) é uma variável aleatória, et varia no conjunto T denominado conjunto de índices. Teoricamente, a definição não impõe nenhuma restrição ao conjunto de índices T, ele pode ser qualquer conjunto. No entanto, quando dizemos processo estocástico, 99\% das vezes estamos realmente pensando t como o tempo, portanto, T deve ser a linha real ou o conjunto de inteiros ou uma parte deles.
Quando isso é não é o caso, mais comumente, quando T é realmente um espaço euclidiano de dimensão superior ou uma parte dele, ou algo assim (uma “variedade”), então \ {X (t) \} \_ {t \ in T} é chamado de campo aleatório. A ideia é que, como o índice não é mais unidimensional, não podemos pensá-lo como tempo, então pensamos como espaço. Como resultado, não obtemos um “processo”, obtemos um “campo”. Assim, o que obtemos é uma superfície aleatória ou uma função multivariada aleatória.
Resposta
Uma variável aleatória é definida como uma mensurável função
X: \ Omega \ mapsto \ R
Onde \ Omega é um Espaço de probabilidade – Wikipedia .
Não se preocupe tanto com a parte “mensurável”; o ponto principal que quero destacar aqui é que, em Matemática e Física particularmente, há uma espécie de equivalência entre funções e variáveis .
Por exemplo, uma forma comumente usada da regra da cadeia de Cálculo diz:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
mas isso só faz sentido se y for implicitamente uma função de u e u é implicitamente uma função de x. Além disso, no lado esquerdo, y realmente (e implicitamente) representa a função composta y = y (u (x)).
Você também vê esse tipo de notação de função como variável o tempo todo em equações diferenciais. Por exemplo, quando alguém escreve uma equação diferencial como
y “= y
é simplesmente entendido que y é uma função em algum domínio não especificado, ou seja, y = y (x), e que y “representa a função \ frac {dy} {dx}, e o = sinal significa igualdade de funções. Essa é uma grande quantidade de configuração embutida nessa notação!
Estou mencionando isso porque as variáveis aleatórias funcionam exatamente da mesma forma. Escrevemos X, mas este símbolo se refere a uma função X (\ omega). Uma variável aleatória é uma função cujo domínio é um espaço de probabilidade. O espaço de probabilidade quase nunca é explícito na notação, mas deve ser definido no contexto.
Quanto ao motivo de ser chamado de “aleatório”, é apenas a palavra que usamos para coisas que dependem de um espaço de probabilidade. Se eu disser “conte 1 para cara, -1 para coroa”, eu defini um espaço de probabilidade \ Omega = \ {cara, coroa \} (presumivelmente com o distribuição uniforme), e uma variável aleatória X (cara) = 1, X (coroa) = – 1. O símbolo X não denota um número real, mas sim uma função com um domínio “aleatório”, onde “aleatório” pode ser definido vagamente como “tendo uma distribuição conhecida de resultados”.