Melhor resposta
O termo “conjunto de pontos” não tem uma definição matemática padrão, até onde eu sei. A frase “Seja X um conjunto de pontos” não tem sentido. Em “topologia de conjunto de pontos”, a frase “conjunto de pontos” é um adjetivo que modifica “topologia”, em oposição a “topologia algébrica” ou “topologia diferencial”.
- A topologia de conjuntos de pontos estuda espaços topológicos potencialmente patológicos de um ponto de vista essencialmente teórico de conjuntos.
- A topologia algébrica usa álgebra homológica para analisar espaços contínuos adequadamente agradáveis.
- A topologia diferencial usa cálculo para estudar espaços suaves.
O modificador “conjunto de pontos” para topologia, portanto, denota que você está potencialmente trabalhando em um contexto onde seus espaços estão não passível de estudo por meio de métodos contínuos ou diferenciáveis.
Resposta
Uma linha pode ser considerada como consistindo de pontos, mas não tenho certeza de que é a melhor maneira de pensar nisso. E tenho certeza de que você deve evitar dizer que uma linha é “feita de” pontos, porque nenhum é mais fundamental do que o outro.
Na geometria axiomática, as linhas e os pontos são entidades fundamentais distintas. Duas linhas se cruzam em um ponto e há uma ordem estrita de pontos distintos em qualquer linha. Uma característica interessante da geometria projetiva é a simetria entre pontos e linhas: existe uma dualidade formal entre eles. Essa afirmação sobre duas linhas se encontrando em um ponto é formalmente equivalente ao seu dual – dois pontos definem uma linha. Na visão dupla, um ponto é “feito de” linhas.
Quanto à cardinalidade dos pontos em uma linha: isso depende das construções que você permite. Com a tradicional “régua e bússola não marcadas”, há apenas um número contável de pontos que podemos alcançar em uma linha. Permitindo limites de sequências de pontos em geral, podemos chegar a qualquer ponto na reta do número real, que possui a cardinalidade incontável do continuum. Mas não há nenhuma razão particular para parar por aí: podemos construir, digamos, a reta numérica surreal onde pontos distintos podem estar infinitesimalmente próximos e há muitos deles (incontáveis!).