O que é um pseudovetor?

Melhor resposta

Um pseudovetor é um objeto que, como um vetor, tem uma magnitude e uma direção e pode ser escrito em coordenadas relativas a um conjunto escolhido de eixos de coordenadas e se comporta como um vetor quando o sistema físico é girado ; mas, após reflexão ou inversão do sistema físico, o pseudovetor se comporta diferentemente de um vetor.

O exemplo mais óbvio de um pseudovetor é a velocidade angular. A velocidade angular, geralmente escrita como um vetor, realmente tem uma magnitude e uma direção. No entanto, sob reflexão ou inversão, ele se comporta de maneira diferente da velocidade linear , que é um vetor verdadeiro. Para ver isso, considere o seguinte diagrama [ fonte ]:

O carro à esquerda está se afastando de você, então, quando você calcula a direção em que as rodas estão girando, vê que a velocidade angular aponta para a esquerda. Agora imagine que você reflete o carro no plano indicado pela linha pontilhada. A velocidade angular ainda aponta para a esquerda.

Agora, considere uma corrida de pedestres, com velocidade para à esquerda. Sob reflexão, o pedestre agora está se movendo para a direita, então a velocidade agora aponta para direita .

Portanto: a velocidade linear sempre sofre uma reflexão quando um sistema físico é refletido, mas a velocidade angular não. A velocidade angular não se comporta como a velocidade linear (um vetor verdadeiro) sob reflexão. É assim que você pode saber que é na verdade um pseudovetor.

Mais precisamente, sob uma reflexão ou inversão, um pseudovetor sempre passa por um adicional inversão em comparação com um vetor. No exemplo acima, para determinar a imagem da velocidade angular sob reflexão, primeiro você tem que refleti-la como um vetor normal (então agora aponta para a direita), então você tem que inverter todos os três de seus componentes (fazendo-o apontar para a esquerda). Essa inversão adicional distingue pseudovetores de vetores.

Todos os pseudovetores na mecânica clássica são derivados da aplicação da regra da mão direita, na forma de um produto vetorial ou uma onda. As quantidades que eles representam são naturalmente descritas por tensores antissimétricos de classificação 2, que se disfarçam como vetores por meio da dualidade de Hodge – mas a dualidade de Hodge os mancha, então eles acabam como pseudovetores em vez de vetores. Para obter mais detalhes matemáticos, consulte: a resposta de Brian Bi para Como a destreza é garantida para sistemas de coordenadas em dimensões maiores que três?

Podemos enumerar rapidamente os exemplos mais comuns de pseudovetores, considerando quando o certo A regra da mão é usada:

  • Velocidade angular
  • Aceleração angular
  • Momento angular
  • Torque
  • Campo magnético
  • Momento de dipolo magnético

Em contraste, as seguintes quantidades são vetores verdadeiros:

  • Velocidade linear
  • Aceleração linear
  • momento linear
  • Força
  • campo elétrico
  • momento dipolo elétrico
  • vetor magnético potencial

É um bom exercício para se convencer de que esta classificação está correta para os exemplos em eletrodinâmica, retratando as configurações de carga e corrente e refletindo-as ou invertendo-as.

Resposta

Supondo que você saiba como calcular os valores próprios e vec eigen toros de uma matriz. Vou tentar explicar a intuição por trás dos vetores próprios.

Por exemplo, você tem uma matriz de pontos de dados no espaço n-dimensional onde n é um valor muito alto. (Tente imaginar uma dispersão de pontos agrupados sem correlação entre eles). Portanto, seus pontos de dados ou suas observações são altamente dimensionais. Quando for esse o caso, é fundamental que haja algum tipo de ruído em seus dados. Se você quiser reduzir esse ruído, você pode querer projetar seus dados em um novo espaço que minimize o ruído.

Este espaço é chamado de espaço próprio e os vetores ou eixos deste espaço são chamados de eigen vetores e o que determina o comprimento dos eixos são os valores próprios.

Então, quando você projeta sua matriz original neste espaço, os pontos de dados de sua matriz original tendem a se anexar / alinhar com os eixos de este espaço. Desse modo, reduzindo o ruído e fornecendo a você os componentes principais em seus dados que são separados ortogonalmente.

Vamos usar uma linguagem leiga. Considere as pessoas que vivem em uma cidade e você gostaria de saber quem entre essas pessoas gosta de jazz, pop rock indie etc. Imagine as pessoas nesta cidade como os pontos de dados. Imagine que você é uma pessoa muito rica e gosta de gastar dinheiro.Um belo dia, você tem a idéia de chamar músicos populares que são os melhores nesses tipos de música mencionados. Assim que eles chegam à sua cidade, você anuncia isso para as pessoas e conduz esses eventos musicais em lugares separados por grandes distâncias em 4 quadrantes diferentes e adivinha o que vai acontecer? Pessoas que gostam de um tipo de música irão a esse evento. A ideia é que os pontos de dados (pessoas) fiquem alinhados / atraídos pelo que gostam. Isso torna mais fácil agrupar as pessoas em grupos.

No exemplo acima, as pessoas na cidade são a matriz original. Os músicos são os próprios vetores e no dia do evento as pessoas (matriz original) foram projetadas no espaço criado na cidade pelos músicos. (O espaço próprio)

Dessa forma, as pessoas semelhantes foram agrupadas.

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