Melhor resposta
Por que k é usado como constante de proporcionalidade?
Não apenas k . a, b, c, d, m, n, p, q são algumas letras do alfabeto romano frequentemente usadas como constantes.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau e \ omega são algumas letras frequentemente usadas no alfabeto grego como constantes.
Voltando à sua pergunta – ninguém sabe ao certo por quê. Mas acredito fortemente que k seja usado como constante em quase todos os lugares, porque a palavra alemã para constante é konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . E adivinha? A primeira letra dessa palavra é k . E os alemães contribuíram enormemente com a matemática desde o início dela.
Sou levado a acreditar dessa forma, como, não apenas a constante de proporcionalidade, k também denota algumas constantes especificadashttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Como- Constante de Boltzmann , constante de Sierpiński “, Constante de Khinchin “, Constante de Landau – Ramanujan – para citar alguns. Só posso supor que eles (os matemáticos preocupados ou aqueles que os nomearam) estavam cientes e afetados pela palavra alemã konstante.
Isso é tudo. Obrigado pela leitura.
Resposta
Esta pergunta destaca muito bem como a física é diferente da matemática.
Lembre-se de que o propósito de qualquer equação na física, incluindo a segunda lei de Newton, é simplesmente modelar um relacionamento “no mundo real”. Isso significa que quais quantidades escolhemos como constantes e quais escolhemos como variáveis dependem inteiramente da situação física que a equação deve modelar.
Com isso em mente, vamos à segunda lei de Newton. O próprio Newton originalmente não expressou sua lei dessa forma. Em vez disso, ele expressou isso (em palavras) como
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Onde \ mathbf {F} está a força (observe, Força é um vetor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} é a taxa de variação do momento \ mathbf {p} (também um vetor).
Ele é possível interpretar isso como uma definição para força, e sob essa interpretação não é realmente significativo inserir uma constante de proporcionalidade porque uma definição de uma quantidade normalmente diz nos termos mais diretos o que essa quantidade é em termos de outra quantidade.
Conforme escrito, este é, naturalmente, um conjunto de três equações, que especificam a direção da força no espaço. No entanto, em muitas situações, a física da situação é tal que podemos estar interessados apenas na magnitude da força, e isso simplifica para
F = \ frac {dp} {dt}
Agora, a magnitude do momento é dada por p = mv. A expressão mais geral para a derivada de tempo desta quantidade é
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
O primeiro termo à direita representa um objeto se movendo a uma velocidade constante enquanto sua massa está mudando, enquanto o segundo representa um objeto com uma massa constante se movendo a uma velocidade variável. Agora, as situações em que geralmente estamos mais interessados em modelar consideram a massa do objeto uma constante. Isso significa
\ frac {dm} {dt} = 0
E, portanto, o primeiro termo desaparece. Ficamos com
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
E agora deve ser óbvio: Nesta equação, a constante de proporcionalidade é m .
Na verdade, se quiséssemos modelar, digamos, um foguete se movendo a uma velocidade constante, mas que está perdendo massa (ou seja, sua massa está mudando com o tempo) porque está ejetando combustível como escapamento que o impulsiona para a frente, em vez disso, escreveríamos
F = v \ frac {dm} {dt}
Porque uma velocidade constante significa
\ frac {dv} {dt} = 0
E, portanto, o segundo termo na expressão geral acima desaparece. Portanto, nesta equação, a constante de proporcionalidade é v.
O que isso mostra, espero, é que tudo o que consideramos ser a constante de proporcionalidade depende inteiramente dos eventos no mundo real e das relações entre eles. Por exemplo, m tornou-se uma constante de proporcionalidade entre as magnitudes de força e aceleração precisamente porque queríamos modelar uma situação em que a massa do objeto fosse constante.Da mesma forma, v tornou-se uma constante de proporcionalidade entre a magnitude da força e a taxa de variação da massa no tempo precisamente porque queríamos modelar esse tipo de situação.
Deixe-me contrastar isso com uma abordagem puramente matemática pode parecer. Lembre-se, a diferença é que agora não nos importamos que as equações modelem a realidade, apenas nos importamos que sejam consistentes (e, claro, que levem a novas matemáticas interessantes). Então, fazendo apenas matemática, estou perfeitamente livre para considerar a massa em quaisquer unidades que eu quiser. Para esclarecer, vamos escolher algo ridículo, como “bolhas” como unidades de massa. Para preservar a consistência (e apenas por esse motivo), tenho que definir a relação entre blobs e unidades padrão como quilogramas. Digamos que eu defina
1 quilograma = 3 Blobs
Bem, com minhas novas unidades, agora preciso inserir uma constante de proporcionalidade na equação, já que as unidades de Força, Newtons , não tem bolhas neles. Portanto, considerando a massa em unidades de bolhas, abreviado por bb, F = ma torna-se
F = \ frac {1} {3} kma
Onde
k = \ frac {1kg} {1bb} é minha constante de proporcionalidade. Ou, se eu for um pouco mais eficiente matematicamente, escrevo
F = k “ma
Onde
k” = \ frac {1kg} {3bb } é minha nova constante de proporcionalidade que apenas absorveu a constante \ frac {1} {3}.
O ponto de tudo isso é que essas manipulações são puramente matemáticas. As distinções envolvidas não têm nada a ver com os relacionamentos do mundo real que a equação pretende modelar. Eles não têm conteúdo de física e é por isso que você essencialmente nunca vê algo assim *.
Na maioria das situações, as únicas constantes de proporcionalidade que você vê na física são aquelas que são impostas sobre nós pela física do situação.
(* Eu digo “essencialmente” porque existem algumas situações, especialmente no eletromagnetismo, onde tais questões surgem devido a diferentes tradições de representar quantidades, mas a maioria dos físicos não as considera “problemas de física” )