Melhor resposta
No “oeste” contemporâneo, não há uma linha nítida entre as categorias. A maior parte da “lei” como a concebemos é, em certo sentido, direito público, visto que é administrada por autoridades públicas. A linha era muito mais borrada na época feudal, quando a noção de governo não era tão bem definida e a Igreja tinha autoridade real.
De qualquer forma, essa digressão à parte, a categoria de “direito público” inclui o criminoso direito, direito tributário, direito administrativo / regulamentar e direito constitucional. Basicamente, qualquer coisa que envolva diretamente o governo e governantes.
“Direito privado” inclui todo o resto, mais importante ainda, o direito civil e contratual. A lei contratual trata de fazer cumprir acordos voluntários * e a lei de responsabilidade civil trata de alocar perdas para remediar injúrias privadas que não violações de contrato (por exemplo, decidir quem deve pagar após um acidente de carro).
* Em teoria. A maioria dos “contratos” hoje em dia não é genuinamente voluntária. Ninguém lê os termos de serviço do iOS, por exemplo, e os termos são oferecidos na base do “pegar ou largar”; o consumidor não pode realmente negociar.
Resposta
Exemplos? Simples? Direito privado: direito da família – casamento e divórcio. Direito público: a estrutura da legislatura, a organização do sistema judicial.