Melhor resposta
Os números racionais são relativamente simples. Eles são um par ordenado de inteiros (m, n) com n \ neq0 sob a relação de equivalência:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
O quê? Isso deveria ser simples? Bem, sim. Toda aquela equivalência gobbledygook era apenas para ter certeza de que a metade era a metade, fosse (1,2) ou (2,4) ou mesmo (-33, -66). E tudo pareceria mais familiar se eu escrevesse isso como \ frac12 = \ frac24 em vez de (1,2) \ equiv (2,4) porque 1 \ times4 = 2 \ times2. Mas, estritamente falando, é com isso que começa uma definição rigorosa de números racionais.
Agora que lidamos com as coisas fáceis, o que é um número real? Apesar de seu nome e de sua onipresença, os números reais são bastante bestas complicadas. Talvez a construção mais simples que mapeia a nossa intuição seja a de cortes Dedekind . Um corte Dedekind dos números Racionais, \ Q, é uma partição em dois conjuntos não vazios (A, B) tais que A \ cup B = \ Q, cada elemento de A é estritamente menor do que todos os elementos de B, e A não tem o maior elemento. Eu sei, sua cabeça já está girando, mas o idéia é muito simples: estamos apenas cortando a reta numérica em algum ponto – todos os Racionais à esquerda estão em A e todos os Racionais à direita (ou em o ponto) estão em B. Se B tem um elemento mínimo, nosso corte estava em um número Racional. Se B não tem um elemento mínimo, nosso corte estava em um Número irracional. O seguinte representa s o corte de Dedekind para a raiz quadrada de dois (um número irracional):
(Fonte: Arquivo: Corte de Dedekind – raiz quadrada de two.png – Wikipedia )
De qualquer maneira, o corte, (A, B), representa um número real. Uma vez que B = \ Q \ setminus A, podemos representar um número Real pelo próprio A: um conjunto não vazio de números Racionais que é fechado abaixo e não possui o maior elemento. Em certo sentido, os números reais irracionais preenchem as “lacunas” nos números racionais.
Um problema com essa intuição de “lacunas” é que os números racionais são densos nos reais – entre quaisquer dois números reais distintos existe um Racional (de fato, infinitos Racionais). Isso pode fazer você pensar que há pelo menos tantos números Racionais quanto irracionais. Mas não, a cardinalidade do conjunto de números irracionais é estritamente maior do que a do conjunto de números racionais. De alguma forma, o número real “no final” do conjunto A de números racionais é unido por uma série de outros números reais que não consigo descrever em relação ao conjunto A. Como eu disse, os números reais são bestas complicadas: a maioria deles nem mesmo podem ser descritos, apesar de sua suposta “realidade”.
Estou sugerindo uma diferença fundamental entre os números racionais e reais números que realmente requerem um diploma em matemática para serem entendidos corretamente, mas espero que você tenha pelo menos uma noção da diferença, se não uma apreciação completa das sutilezas.
Resposta
Números reais são números entre os números racionais . O que essa afirmação realmente significa?
Considere a raiz quadrada de 2. Pode-se mostrar que não é racional. Mas podemos descobrir qual é o seu valor, com qualquer grau de precisão, identificando todos os racionais que são inferiores a ele e todos os racionais superiores a ele. É entre dois conjuntos de números racionais.
Isso é verdade para qualquer número real, a menos que também seja racional. Para qualquer número real, há um conjunto de números racionais que são todos menores ou iguais a ele, e outro conjunto de racionais que são todos maiores ou iguais a ele, e cada racional está em um ou outro desses dois conjuntos . Esse tipo de partição dos racionais é a chave para construir os números reais a partir dos racionais por meio de cortes de Dedekind.
Considere dois conjuntos de números racionais, L (inferior) e H (superior), de modo que todo número em H é maior do que todo número em L, e os dois conjuntos juntos incluem todos os números racionais. Sabemos que esses conjuntos L e H existem para cada número real que podemos calcular algebricamente, mas esses não são os únicos conjuntos.
Em geral, L pode ter um número mais alto, Lmax ,, ou H pode ter um número mais baixo Hmin. Nesses casos, Lmax ou Hmin seria o limite superior de L e o limite inferior de H, e seria racional. Se nem Lmax nem Hmin existirem – e sabemos que não existirão se criarmos os conjuntos a partir de um número irracional conhecido – definimos o limite superior de L (que também é o limite inferior de H) como um número real.
Na verdade, toda vez que aproximamos um número irracional de uma fração decimal, estamos criando essa partição. Por exemplo, se dissermos que um número irracional é 1,2345 …, o que estamos dizendo é que é maior que 1,2345, mas menor que 1.2346, e conforme escrevemos mais números na expansão decimal, adicionamos mais números aos conjuntos que são maiores e menores do que.
Usando essas expansões decimais, podemos derivar uma diferença importante entre os números racionais e os numeros reais. Os números racionais são contáveis ; ou seja, eles podem ser colocados em correspondência um a um com os inteiros. Os números reais não são contáveis.
Qual é a diferença entre os números reais e racionais?