Melhor resposta
Por convenção, qualquer elemento de um espaço vetorial E é representado por um vetor coluna.
Suponha que temos um mapeamento representado por uma matriz M que mapeia E em outro espaço vetorial F, então a ação de M em v é representado por um produto da matriz esquerda de v por M, isto é:
y = M v
Você também pode aplicar M a algum vetor de linha u (presumo que as dimensões de u , v e M estão em conformidade) por um produto de matriz certo:
z = u M
A principal diferença agora é a interpretação de u wrt v : u pertence ao espaço vetorial E * que é o espaço dual de E ( procurar o que é um espaço dual de um espaço vetorial).
Se você estiver trabalhando com um determinado espaço vetorial E, seu elemento é representado por um vetor coluna e quaisquer vetores linha devem se referir a um elemento de seu espaço dual.
A notação pode ser usada no sentido inverso: E * pode ser o espaço vetorial com o qual você está trabalhando, portanto, seu vetor pode ser representado pelo vetor coluna nesse espaço e os elementos de seu espaço dual por um vetor de linha. Cuidado, porém, o dual de E * (bidual de E) não é E.
A representação de linha e coluna é principalmente (entre outras razões matemáticas) porque o produto da matriz não é comutativo.
Resposta
Não há nenhuma diferença fundamental entre os vetores de linha e os vetores de coluna. Dependendo do espaço que você está modelando com matrizes, pode haver uma diferença entre os dois, possivelmente fundamental, naquele espaço, mas isso é acidental para os vetores. Exatamente o mesmo espaço pode ser modelado pela transposição das matrizes, caso em que o que eram vetores de coluna se tornará vetores de linha com exatamente o mesmo significado.