Melhor resposta
Em primeiro lugar, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Agora, representarei a função de raiz quadrada por sua série de Taylor. Vou calcular esta série de Taylor de cerca de 16, apenas para estar seguro de quaisquer raios de convergência irritantes Então, vou aproximar \ sqrt {20} definindo x = 20 na série.
A definição da Série de Taylor de qualquer função anylítica f \ left (x \ right) é a seguinte:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Aqui, f ^ {\ left (n \ right)} denota a enésima derivada de f. Teremos que calcular muitas derivadas e, com sorte, haverá um padrão facilmente perceptível.
f \ left (x \ right) doravante denotará \ sqrt {x}.
A derivada “zero” de f é simplesmente f. Terei f \ left (16 \ right) como o coeficiente do primeiro termo da série. (Lembre-se, decidi centralizar a série de Taylor em 16 . A raiz quadrada de 16 é fácil – é apenas 4 . Quatro quatros são 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Ok. As coisas vão ficar um pouco desafiadoras. Agora temos que calcular a derivada de \ sqrt {x}.
A regra de potência diz que \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. Neste caso, n = \ frac {1} {2} (dado que \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Portanto, \ frac {\ texto {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. O próximo coeficiente da série é, portanto, \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} ou simplesmente \ frac {1} {8}.
O próximo termo na série de Taylor será, portanto, f “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} ou simplesmente \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Aqui está a soma parcial até agora:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Ok. Agora, temos que calcular a derivada de segundo de f \ left (x \ right), ou simplesmente calcular a derivada de \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Isso exigirá o uso da Regra da Cadeia porque temos uma função composta dentro de outra. Uma função será doravante denotada por g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, e o outro será doravante denotado por h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. A função da qual queremos encontrar a derivada é: f “\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Em outras palavras, queremos encontrar a derivada de g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
A regra da cadeia diz que \ frac {\ text {d}} {\ texto {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g “\ left (h \ left (x \ right) \ right) h” \ left (x \ right).
A derivada de g \ left (x \ right) é – \ frac {1} {x ^ 2} (pela regra de potência). A derivada de h \ left (x \ right) é \ frac {1} {\ sqrt {x}} (de acordo com a regra da potência e a propriedade que implica \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf “\ left (x \ right)).
Agora temos esse \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. O terceiro coeficiente da série é, portanto – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (ou mais simplesmente – \ frac {1} {256}).
O terceiro termo da série é: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
A soma parcial inteira até agora:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Vou agora calcular a quarta derivada de f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
O quarto termo na sequência será \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
A soma agora tem quatro termos:
f \ left ( x \ direita) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ direita) ^ 3} {3!} + \ cdots
Se continuarmos com este padrão, obteremos o seguinte padrão de coeficientes:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Agora é a hora de encontrar um padrão e expressar o sequência com uma fórmula explícita.
O enésimo denominador pode ser representado por b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) que simplifica para b\_n = 2 ^ {5n-2} (com o valor inicial de n como 0). Essa foi fácil. E os numeradores?
Aqui está a série de numeradores (ignorando a alteração do sinal, que será tratada mais tarde):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
O padrão dos numeradores é muito simples. Pegue 945 e divida por 105. Você obtém 9. Em seguida, pegue 105 e divida por 15. Você obtém 7. Continuando: 15 dividido por 3 é 5, 3 dividido por 1 é 3 e 1 dividido por 1 é 1. Produtos de números ímpares estão envolvidos aqui.
O \ left (n + 2 \ right) ésimo termo na sequência de numeradores (excluindo alternância) é, portanto:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
A fórmula para os numeradores está na forma de notação pi. Seria melhor se fosse expresso usando a notação fatorial de alguma forma.
Se dividirmos o produto dos primeiros 2n + 2 inteiros pelo produto dos inteiros pares de 2 a 2n, obteremos o produto dos números inteiros ímpares de 1 a 2n + 1. Em outras palavras,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Agora podemos retirar a notação pi e substituí-la por uma expressão menor e mais elegante. Como você pode ver, o 2 no termo está sendo multiplicado por ele mesmo n + 1 vezes. Portanto, podemos retirar o 2, colocá-lo na frente do pi maiúsculo e, em seguida, elevar o 2 à potência de n + 1. Isso nos deixa com:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
A equação acima pode ser escrita de forma mais simples como:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Você já deve ter notado que a série dada pela expressão diretamente acima está desfeita por dois termos. Para resolver esse problema, tudo o que temos a fazer é encontrar todos os n na fórmula do denominador e adicioná-los por 2. Também teremos que fazer o mesmo com o resto dos termos com potências de x.
A fórmula do denominador é finalmente 2 ^ {5n + 8}.
Uma vez que mudamos a série, ainda temos que incluir aqueles que foram excluídos em algum lugar da expressão. Haverá outros termos que aparecerão antes da notação sigma na expressão. Esses termos são 4 e \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
O coeficiente de cada termo da série será:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
que simplifica para:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Essa é a fórmula para o enésimo coeficiente da série (isso excluiu os dois primeiros termos porque esses termos causariam erros na fórmula para t\_n).
Agora podemos começar a escrever a notação sigma (lembre-se, mudamos a série para retirar os termos atrevidos, então haverá algumas coisas na frente da notação sigma).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
É uma série alternada começando com um negativo, então teremos que multiplicar os termos pela (n + 1) ésima potência de -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Limpo:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
Agora temos a Série de Taylor para essa função chamada “raiz quadrada”, que definitivamente não é uma coisa em calculadoras. Agora, tudo o que resta fazer é aproximar a raiz quadrada de vinte usando a série de Taylor que acabamos de descobrir.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right) )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Simplificado:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Digitei a expressão acima no Desmos e substituí \ infty por 15. Desmos avaliou a soma. Portanto, a raiz quadrada de vinte é de aproximadamente 4,472135955.
Eu me aprofundei nessa resposta porque, de outra forma, seria chato.
Todos que podem usar a internet têm acesso até mesmo ao a mais científica das calculadoras. A função de raiz quadrada está sempre disponível para você 24/7/365. Graças a esse fato, verificarei minha resposta.
4,472135955 \ stackrel {?} {=} 4,472135955 \ approx \ sqrt {20}
4,472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4,472135955 \ approx \ sqrt {20}
Obrigado pela leitura.
Resposta
Bem, vamos tentar sem uma calculadora .
Encontre o número cujo quadrado é um pouco menor que 20, é 4.
Encontre um cujo quadrado está logo acima de 20 , é 5.
Então, 4 qrt (20)
Uma vez identificado, calcule a média desses dois números que é 4,5
AM ≥ GM e GM = √4 * 5 = √20.
Portanto, temos √20 ,5
Então, 4 qrt (20) ,5
Calcule 4,5 quadrados … 4 * 5 + 0,25 = 20,25 …
É apenas um pouco alto …
Então, a resposta deve estar em torno de 4,5, mas não perto de 4 .
Agora, vamos tentar achar mais corretamente
Pegue f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
Agora, f (20,25) = 4,5, f (20) =?
Pegue ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(série de Taylor truncada na primeira ordem ou você pode chamar Newton Método Raphson)
Agora, substituindo x e ∆x, temos,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – 0,11111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Portanto, sqrt (20) ~ 4,472225
E foi isso que o Google ofereceu como resposta.
Portanto, nossa resposta não é tão ruim !!