Melhor resposta
Este é um bom momento para mostrar como a matemática funciona, pegando algum conceito intuitivo, mas vago, e tornando-o preciso por definições inteligentes.
O que devemos entender por oposto? Bem, uma coisa razoável a se dizer é que, quando realizamos alguma operação \ vee (chame do que quiser, banana é um bom nome, por exemplo) em xe seu oposto x ^ *, o resultado deve ser algum elemento neutro banana n. Ou seja, x e “anti-x” devem cancelar um ao outro de forma que x \ vee x ^ * = n. Observe que, no momento, não sabemos muito sobre banana além dessas propriedades formais. O conceito de n ser neutro deve, neste sentido, significar que para qualquer y, devemos ter y \ vee n = y, ou seja, n não afeta y quando banana é aplicada a ambos.
Este conceito de opacidade é fundamental em matemática, e o nome mais comum para x ^ * é inverso de x em relação à operação \ vee.
Quando \ vee é o adição ordinária + de números, x ^ * é denotado -x, uma vez que x + (- x) = 0 é o elemento neutro. De fato, para qualquer y, y + 0 = y. Portanto, neste caso, o oposto de 0 é -0, que é o próprio 0!
Quando \ vee é multiplicação, o elemento neutro é 1 (por quê?). Então 0 não tem um oposto, já que nenhum número vezes zero é um. Existem contextos em que os matemáticos inventam um multiplicativo oposto a 0 e costumam chamá-lo de \ infty, o que faz algum sentido.
Resposta
Isso já havia sido objeto de algum debate na comunidade matemática até Donald Knuth acertar as coisas em 1992, então é compreensível que ainda haja alguma confusão, mas a convenção moderna é definir 0 ^ 0 = 1, por um bom motivo.
O que 0 ^ 0 significar? Talvez você tenha aprendido que uma potência zero é calculada dividindo-se uma enésima potência por uma enésima potência (n> 0); isso não ajuda no caso de 0 ^ 0 e leva algumas pessoas a associar 0 ^ 0 ao quociente indefinido \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Essas pessoas não conseguiram perceber que 0 ^ 2 é perfeitamente bem definido e não pode ser associado ao quociente indefinido \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – não podemos provar qualquer coisa introduzindo uma divisão por zero onde nenhuma existia antes.
Mas não precisamos apelar para a divisão:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Se eu tirar todas as suas maçãs n vezes (n> 0) , você não tem mais maçãs; mas se eu tirar todas as suas maçãs 0 vezes, você ainda terá todas as suas maçãs. Mais concisamente, 0 ^ 0 = 1 é um caso de produto vazio , assim como 0! = 1.
Então, por que demorou tanto para ser aceito? O problema aparente é que a forma de limitação 0 ^ 0 é uma forma indeterminada, no sentido de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ a} g (x) = 0 não dá nenhuma informação * sobre o limite \ textstyle \ lim\_ {x \ a} f (x) ^ {g (x)}: pode ser qualquer não negativo número real, \ infty, ou pode não existir, dependendo das funções particulares. Isso parecia estar em conflito com a simples intuição acima por mais de um século. Mas a conclusão importante é que o indeterminado forma de limitação 0 ^ 0 não nos impede de atribuir uma definição ao valor 0 ^ 0 . Eles não são o mesmo objeto: a forma de limitação 0 ^ 0 é apenas uma abreviatura para o limite mencionado, e sua indeterminação significa apenas que a exponenciação não pode ser uma função contínua em qualquer bairro de (0, 0).
Isso não deveria ser muito surpreendente: por exemplo, \ lfloor 0 \ rfloor também é uma forma indeterminada (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor não existe, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), mas ainda escrevemos \ lfloor 0 \ rfloor = 0 como um valor.
E agora atribuímos 0 ^ 0 o valor que é útil, que é 1. Por que isso é útil? Porque nos permite manipular exponenciais sem adicionar casos especiais .
- Se \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n é um polinômio , então p (0) = a\_0 é seu termo constante – mas não podemos nem mesmo escrever um polinômio dessa maneira óbvia, a menos que 0 ^ 0 = 1. O mesmo vale para séries de potências infinitas, onde d é substituído por \ infty.
- A avaliação da infinita série geométrica : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} so \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. é completamente válido (e mesmo contínuo) para | x | , incluindo em x = 0, mas requer 0 ^ 0 = 1.
- O teorema binomial (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k é válido mesmo quando a = 0 ou b = 0, mas requer 0 ^ 0 = 1.
- O regra de potência \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) vale mesmo para n = 1 em x = 0, mas requer 0 ^ 0 = 1.
- A resposta de Jack Huizenga dá outro exemplo: o número de funções f \ dois pontos S \ to T é \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, mas apenas se 0 ^ 0 = 1.
- No Numeral da igreja dos naturais, a exponenciação é apenas uma aplicação de função e 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* O sentido em que 0 ^ 0 é uma forma indeterminada é mais fraco do que para outras formas indeterminadas. Para funções analíticas complexas f, g com \ textstyle \ lim\_ {x \ para a} f (x) = \ lim\_ {x \ para a} g (x ) = 0, sempre temos \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, a menos que f seja identicamente zero (nesse caso, o limite não existe).
Donald Knuth dá basicamente esta mesma resposta em “ Duas notas sobre notação ” (1992, p. 6), junto com o contexto histórico:
No entanto, o artigo [de Libri] [33] produziu várias ondulações em águas matemáticas quando apareceu originalmente, porque gerou uma controvérsia sobre se 0 ^ 0 é definido. A maioria dos matemáticos concordou que 0 ^ 0 = 1, mas Cauchy [5, página 70] listou 0 ^ 0 junto com outras expressões como 0/0 e \ infty – \ infty em uma tabela de formas indefinidas. A justificativa de Libri para a equação 0 ^ 0 = 1 estava longe de ser convincente, e um comentarista que assinou seu nome simplesmente “S” levantou-se para o ataque [45]. August Möbius [36] defendeu Libri, apresentando a razão de seu ex-professor para acreditar que 0 ^ 0 = 1 (basicamente uma prova de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius também foi além e apresentou uma suposta prova de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 sempre que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Claro, “S” então perguntou [3] se Möbius conhecia funções como f (x) = e ^ {- 1 / x} e g (x) = x. (E o papel [36] foi discretamente omitido do registro histórico quando as obras coletadas de Möbius foram finalmente publicadas.) O debate parou aí, aparentemente com a conclusão de que 0 ^ 0 deveria ser indefinido.
Mas não , não, dez mil vezes não! Qualquer pessoa que queira que o teorema binomial \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} seja válido para pelo menos um inteiro não negativo n deve acreditar que 0 ^ 0 = 1, pois podemos inserir x = 0 ey = 1 para obter 1 à esquerda e 0 ^ 0 à direita.
O número de mapeamentos do conjunto vazio para o conjunto vazio é 0 ^ 0. Ele precisa ser 1.
Por outro lado, Cauchy tinha boas razões para considerar 0 ^ 0 como um forma de limitação , no sentido de que o valor limite de f (x) ^ {g (x)} não é conhecido a priori quando f (x) e g (x) se aproximam de 0 independentemente. Nesse sentido muito mais forte, o valor de 0 ^ 0 é menos definido do que, digamos, o valor de 0 + 0. Tanto Cauchy quanto Libri estavam certos, mas Libri e seus defensores não entendiam por que a verdade estava do lado deles.