Melhor resposta
Dado o Triângulo Rt, lados 18, 24, 30; Encontre o raio do círculo inscrito.
Resposta curta; as fórmulas de um raio de círculo inscrito em um Triângulo Rt é
Área / (1/2 Perímetro)
Área é Altura X Metade da Base; ou seja,
18 * 12 = 216
O perímetro é 18 + 24 + 30 = 72; e dividido por 2
72/2 = 36
O raio do círculo é 216/36 = 6 cm
Resposta longa
Construção:
Divida AC, e CA, na interseção verifique o locus com a bissecção de BC, Está tudo bem, então vamos …
Com uma bússola e um lápis, faça um círculo tocando qualquer lado, seguindo em torno dele e tocando os outros 2 lados.
Rotular a interseção de AD e CE, O.
A partir dele, desça uma perpendicular a cada lado em P, em Q e em R.
A interseção, O, é equidistante dos lados AB, BC e AC. (Veja III abaixo)
I.
Considere os triângulos, BPO e BRO.
Ângulos BO = BO (construção).
A linha BO é comum a ambos os triângulos.
Ângulos RO = PO (ângulos Rt construídos).
Os triângulos Ergo BPO e BRO são congruentes.
Segue essa linha BP = BR.
Mas sabemos que BR = BC – r.
Então BP = BC – r; ou 24 – r.
Pelo mesmo argumento, podemos provar PA = AC -r: ou 18 – r.
Então.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; e BP + PA = BA.
Combinando conclusões …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Substituindo BA por BP e PA, e simplificando….
Então, BA = 42 – 2r.
Mas BA = 30 (Dado). Substituindo por BA.
30 = 42 – 2r… simplificando…. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
O raio encontrado é => 6 unidades.
A aritmética parece ser,
Soma de todos os lados, desta série de triângulos, / 12 = Raio do inscrito círculo.
18 + 24 + 30 = 72
Raio = 72/12 = 6.
Espero que ajude.
Re ; fórmulas em outras respostas, obrigado a cada um. Novo para mim! … lol. Eu aprendo algo novo no Quora todos os dias. O meu favorito é área / (0,5 * perímetro) = raio do círculo inscrito… .216 / 36 = 6…
EDITAR 26/6 / 17
III.
A partir da construção da figura,
Triângulos BPO e BOR são congruentes, comprovado acima. Além disso, APO e AOQ podem ser comprovados congruentes.
Ergo
Linhas OP = OR e OQ = OP. Uma vez que OP é igual a OR e OQ, eles são iguais um ao outro, ou seja – OR = OQ. Consequentemente, esta é uma prova de que a interseção da bissecção de seus ângulos É o centro da figura, um triângulo retângulo, e equidistante de seus 3 lados.
QED
Resposta
Obrigado por fazer esta boa pergunta, Sr. Lloyd – não apenas a resposta para sua pergunta é um sim , mas há infinitamente muitos (planar ) triângulos com as propriedades que você solicita e, ao que parece, é possível classificar alguns deles pelos raios de seus círculos de forma que os referidos raios rastreiam ou sombreiam o conjunto de números naturais 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
Em outras palavras, usando a discussão que está por vir como um projeto para uma prova potencialmente mais formal, nós iremos mostram uma maneira mecânica de gerar um triângulo cujos comprimentos de todos os lados são números inteiros e o comprimento do raio de cujo incircle é um número inteiro n fornecido antecipadamente.
Barra lateral: esses tipos de perguntas tem muito que fazer com teoria dos números elementares e muito pouco a ver com geometria.
Uma família de triângulos (planos) que é garantido que as propriedades solicitadas imediatamente são os chamados Triângulos Pitagóricos – os triângulos retos (por enquanto) cujos comprimentos de todos os lados são números inteiros.
Vamos concordar que os comprimentos dos lados de um triângulo pitagórico são o todo, estritamente positivo, os números a, b e c tais que:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Também concordemos que quando todos os três inteiros a, b, c são coprimes, então o triângulo pitagórico correspondente é chamado de primitivo e vamos supor por um momento que de alguma forma conseguimos encontrar um desses triângulos primitivos a\_0 , b\_0, c\_0.
Como a relação em ( 1 ) não tem nenhum outro termo flutuante, segue-se que, escalando todos os números formando um Triângulo pitagórico primitivo pelo mesmo inteiro estritamente positivo k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
obteremos um novo triângulo que será:
- também pitagórico
- não mais primitivo (para k> 1)
- semelhante ao seu triângulo pitagórico primitivo pai a\_0, b\_0, c\_0
- maior do que seu triângulo pitagórico primitivo pai a\_0, b\_0, c\_0
Segue-se então que existem infinitamente muitos Triângulos Pitagóricos não primitivos gerados por um (único) Triângulo Pitagórico primitivo dado. Um dado Triângulo Pitagórico primitivo é o menor em sua família porque o comprimento de seus lados não pode ser reduzido mais. Não existem dois triângulos pitagóricos primitivos distintos que são semelhantes.
Observamos de passagem que normalmente não lançamos declarações matemáticas à toa – provamos eles ali mesmo, mas porque o foco desta resposta não são as provas de as propriedades acima, nós apenas as consideramos verdadeiras por enquanto (peça as provas relevantes separadamente se estiver interessado).
Assim, é tradicionalmente do interesse inicial recuperar os comprimentos dos lados de primitivos triângulos pitagóricos porque todos os outros triângulos pitagóricos podem ser gerados a partir de suas contrapartes primitivas, conforme explicado acima.
Como exercício, podemos mostrar que uma parametrização completa das soluções de ( 1 ) é fornecida por:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
onde m e n são todos os pares de inteiros coprime de paridade oposta com m> n. O bit de paridade oposta significa que um desses números, não importa qual deles, deve ser ímpar, enquanto o outro – deve ser par.
Novamente, se você estiver interessado, faça uma pergunta separada sobre de onde veio ( 2 ) – teremos o maior prazer em apresentar uma dedução de este fato fora da banda para não poluir a resposta atual com muitas informações técnicas.
Existe uma parametrização alternativa das soluções de ( 2 ) que também omitimos aqui.
Agora, considere um triângulo retângulo arbitrário com os lados aeb, a hipotenusa ce o radius r (Fig. 1):
Se adicionarmos a equação verde à equação azul mostrada na Figura 1 e usarmos a equação cinza para x + y, encontraremos:
c + 2r = a + b \ tag * {}
de onde:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Agora, suponha que o O triângulo t é um primitivo Triângulo Pitagórico. Se pegarmos os valores de a, b e c de ( 2 ) e colocá-los em ( 3 ) então teremos:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Aqui os m ^ 2s serão cancelados e os n ^ 2s dobrarão:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Fatorando 2n do denominador acima, chegamos a:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
o que quer dizer que:
r = n (mn) \ tag {4}
que nos diz que em qualquer Triângulo Pitagórico primitivo o comprimento de seu raio é um número inteiro (não se esqueça da restrição m> n, veja ( 2 )) porque uma diferença de dois inteiros é sempre um inteiro e um produto de dois inteiros é sempre um inteiro.
Em seguida, considere qualquer triângulo K não primitivo – isto é, considere um Triângulo Pitagórico cujos comprimentos de todos os lados foram escalado uniformemente por algum número inteiro estritamente positivo k> 1. Como esses comprimentos entram na equação ( 3 ) como termos estritamente lineares, para obter o comprimento do raio correspondente, tudo o que temos que fazer é multiplicar o RHS de ( 4 ) por k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Assim, de qualquer forma, o comprimento do infravermelho de um Triângulo Pitagórico é sempre um número inteiro porque os objetos (os números) no RHS de ( 4 , 5 ) sempre são – a diferença de dois inteiros é sempre um inteiro e o produto de dois inteiros é sempre um inteiro.
Observe que o a equação ( 5 ) pode ser lida da direita para a esquerda . O que significa que podemos tomar os inteiros k, m, n como uma entrada e então usar ( 5 ) para gerar um raio integral como uma saída.
Agora, vamos tentar ir na direção oposta – vamos ver se podemos colocar uma ordem no comprimento de um raio e, com base nessa informação, recuperar os comprimentos do Triângulo Pitagórico correspondente.
Aparentemente o próprio Pitágoras, há muitos anos, conseguiu produzir uma parametrização parcial das soluções de ( 1 ) estudando os triângulos pitagóricos cujos comprimentos de seus lados mais curtos formam uma sequência de números naturais ímpares consecutivos a = 2n + 1.
Nesse caso, para que os números relevantes permaneçam inteiros o comprimento do lado b e o comprimento da hipotenusa c de um Triângulo Pitagórico misterioso devem diferir por uma unidade: c = b + 1. Assim, de ( 1 ) temos:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Abrindo o parêntese acima:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vemos que b ^ 2s e 1s se cancelam:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
o que quer dizer que:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Colocando esses valores de volta em ( 3 ) , descobrimos que:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Não é bom?
Portanto – a referência de classificação.
Em outras palavras, se você nos fornecer algum número natural arbitrário n> 0, poderemos gerar um Triângulo Pitagórico que possui exatamente as propriedades que você solicitou:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
significando que a família de fórmulas acima enumera o comprimento integral do infravermelho de um triângulo com os comprimentos integrais de seus lados via o conjunto de números naturais \ mathbb {N}.
Isso também significa que podemos escrever um programa de computador, digamos, na linguagem de programação C como meio, com antecedência que irá gerar os triângulos solicitados sob demanda:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Supondo que salvamos o código acima no arquivo ptr.c, crie-o assim:
gcc -g - o ptr ptr.c
e execute-o assim:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
onde para uma emoção barata nós, dramaticamente, incluímos a hipotenusa de comprimento 365.
Nosso programa aceita um monte de números naturais do prompt de comando e para cada número n gera um PytagoreanTriângulo cujos comprimentos de lados garantem que o comprimento do raio do triângulo é igual ao número natural de entrada n.
O formato da nossa saída é: a primeira coluna mostra o valor do raio n, a segunda coluna mostra o valor de a, a terceira coluna mostra o valor de b e a quarta coluna mostra o valor de c.
Além disso, a área S de nossos triângulos pitagóricos:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
também é garantido como um número inteiro porque inserir os valores de a e b de ( 2 ) para ( 9 ), encontramos:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
que é sempre um número inteiro.
Por último, a situação com triângulos arbitrários, leia – não retos, é mais delicada.
Se dividirmos esse triângulo em três triângulos menores, sem lacunas e sem sobreposições, como mostrado abaixo (Fig.2):
então, porque neste caso o todo é igual à soma de suas partes, para a área S desse triângulo teremos:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
o que quer dizer que:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
se concordarmos que P é o perímetro completo do triângulo e que p é o semiperímetro do triângulo.
Segue-se então que para o valor do raio r temos:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Assim, para r ser um inteiro, então P tem que dividir 2S ou p tem que dividir S.
Para o propósito do argumento, vamos concordar em nomear não planar triângulos retângulos cujos comprimentos todos os lados são inteiros e cuja área é um inteiro Diofantino .
Agora, existem triângulos diofantinos (compostos) de modo que:
- eles são compo sed de dois triângulos Pitagóricos ao longo de um lado comum e
- o comprimento de seu raio é não um inteiro
Prova: a área do triângulo diofantino composto 5, 5, 6, que é composto por dois triângulos 3,4,5 pitagóricos ao longo do lado b = 4, é 12, enquanto o comprimento do seu semiperímetro é 8. Mas 8 não divide o número inteiro 12. \ blacksquare
Lá existem triângulos diofantinos (compostos) tais que:
- eles são uma composição de dois triângulos pitagóricos ao longo de um lado comum e
- o comprimento de seu raio é um inteiro
Prova: a área de 13,14, 15 triângulo diofantino composto, que é composto de dois triângulos pitagóricos 5,12,14 e 9,12,15 ao longo do lado b = 12, é igual a 84, enquanto seu semiperímetro é igual a 42. Mas 42 divide o inteiro 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Existem triângulos diofantinos (não compostos?) Tais que:
- eles não podem ser compostos de dois triângulos pitagóricos, mas
- o comprimento do seu radius é um número inteiro
Prova: a área do triângulo 65.119.180 é igual a 1638, enquanto seu semiperímetro é 182. Mas 182 divide o número inteiro 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
Em um triângulo retângulo candidato com os lados aeb, duas vezes a área 2S é igual ao produto de aeb, consulte ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Portanto, ambos os números aeb devem dividir 2S.
É este o caso do nosso triângulo?
Não.
Nenhum dos comprimentos dos lados de nosso triângulo divide a magnitude igual a 1638 \ cdot 2.
Aqui está o porquê: a fatoração primária de 1638 \ cdot 2 é igual a 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
As fatorações principais dos comprimentos dos lados do nosso triângulo são :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Portanto, o comprimento sem altura do nosso triângulo pode ser expresso como um número inteiro (natural) e, portanto, tal triângulo diofantino não pode ser composto por dois triângulos pitagóricos ao longo de um lado comum que deve desempenhar o papel da altura do triângulo alvo. \ blacksquare
Vemos que, para fazer uma declaração abrangente sobre o comprimento do raio de um triângulo diofantino, devemos realizar uma análise mais cuidadosa da situação e, com toda probabilidade, olhar para triângulos racionais .
Espero não ter tornado nossa discussão muito complicada, mas é o que é – principalmente teoria dos números elementares.