Melhor resposta
Qual é o tamanho do número de Rayo em comparação com o número de Graham? É maior. Muito maior. Ele foi projetado para ser.
O número de Graham é enorme. É muito maior do que números grandes comuns como um Googolplex que entender o quanto é maior pode ser bastante alucinante. No entanto, no campo dos números enormes, o Número de Graham não é excepcional. Existem conjuntos inteiros de números que foram concebidos de que são tão surpreendentemente maiores do que o número de Graham quanto o próprio número de Graham é grande. O número de Graham não foi concebido, lembre-se, para ser particularmente grande; na verdade, ele surgiu na tentativa de encontrar um menor limite superior para um problema matemático (e limites superiores muito menores foram encontrados para esse problema!). A única coisa especial sobre o número de Graham era que, na época , era o maior número a ser usado em uma prova matemática significativa ou derivação.
Outros números que deixam o número de Graham muito para trás, desde então, foram derivados ou usados em provas significativas. Um exemplo é TREE (3) , mas também existem muitos outros.
O número de Rayo é um pouco diferente de todos esses. Veja, o número de Rayo foi criado especificamente para ser um número monstruosamente grande. É, virtualmente por definição, maior do que qualquer um desses outros números que temos sobre o qual falamos. É tão maior do que qualquer um deles que nem sabemos exatamente o quão grande é: mas conhecemos muitos números assustadoramente grandes que sabemos que devem ser maiores do que!
Obviamente, mesmo o Número de Rayo não é, em nenhum sentido, “o maior número”. Não existe tal coisa. Sempre podemos adicionar um a qualquer número e obter um ligeiramente maior. Podemos elevar qualquer número à sua própria potência e obter um um pouco maior. Mas o número do Rayo é atualmente considerado o maior número finito que alguém se deu ao trabalho de dar um nome (excluindo extensões triviais, como o número do Rayo mais um e semelhantes).
Resposta
Número do Rayo i é muito maior.
Vou explicar o que é o número de Rayo, então vamos entender por que ele é muito maior do que o número de Graham.
Há um velho paradoxo que é mais ou menos assim: Seja N definido como “O menor inteiro positivo não definível em no máximo doze palavras em inglês”.
Alguém pode perguntar, o que é N?
Bem, seja qual for N, é claramente definível em no máximo doze palavras em inglês, a saber, as palavras “O menor inteiro positivo não definível em no máximo doze palavras em inglês”. Mas isso é uma contradição porque, por definição, N não é definível por doze palavras em inglês.
Paradoxo! SpoooOoOoOky!
A solução para este paradoxo, além de apenas o fato de que “inglês” é vago em geral, é que “definível” é particularmente mal definido. Se quais números são definíveis depende da palavra “definível”, cujo significado depende de quais números são definíveis, você acaba com uma definição circular que não pode ser resolvida.
Por que eu trouxe esse paradoxo?
O número do Rayo pode ser visto como uma “formalização” do acima; usa linguagem matemática em vez de inglês e torna precisa a noção de “definibilidade”. O número do Rayo “ é
” O menor inteiro positivo maior que qualquer inteiro positivo finito nomeado por uma expressão na linguagem do conjunto de primeira ordem teoria com símbolos googol ou menos. “
Teoria dos conjuntos de primeira ordem – aqui, significando“ lógica de primeira ordem no domínio do universo de Von Neumann , que é um modelo da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel ”- é uma linguagem matemática precisa. Isso a linguagem formal tem a propriedade de não poder codificar circularmente a mesma frase e criar um paradoxo. (Você pode descrever os axiomas ZFC na lógica de primeira ordem e até mesmo descrever um mecanismo para avaliar as provas e assim por diante, mas você não pode criar um universo de Von Neumann dentro de si.)
Então, por que isso é maior do que o número de Graham?
Bem, o número de Graham não é muito difícil de definir, você pode leia a definição na Wikipedia e é totalmente elementar, em termos de notação que é definida por exponenciação. Certamente, você pode codificar o número de Graham usando no máximo, digamos, 10.000 símbolos. Estou sendo conservador aqui. E o número de Graham não está nem perto do maior número definível em 10.000 símbolos. Mas o número de Rayo é maior do que qualquer número definível com googol = 10 ^ {100} símbolos. Isso é monstruosamente maior do que o número de Graham! Na verdade, a teoria dos conjuntos de primeira ordem é capaz de falar sobre máquinas de Turing, então o número de Rayo é muito maior até do que, digamos, BusyBeaver (qualquer número grande que você pensar).