Qual forma tem a menor proporção entre a área e o comprimento do perímetro?


Melhor resposta

Intuitivamente, digo que um Triângulo tem o menor e, intuitivamente, acho que um círculo tem o maior.

Círculo:

PiR ^ 2 / 2PiR = PiR / 2; se R = 1, então a razão entre a área e o perímetro de um círculo é Pi / 2. Também, se eu permitir que o raio deste círculo diminua para zero, então talvez o resultado possa contestar minha hipótese.

Triângulo:

Agora, se um Triângulo, nos pontos A, B, C com o mesmo perímetro 2Pi, é esmagado por um encolhimento de sua base, e mantendo um perímetro 2Pi, a área será dada por 1/2 B x H (B = Base; H = altura). Por Pitágoras, sabemos que H (altura do triângulo) torna-se Pi quando B (base do triângulo) se aproxima de zero, também podemos induzir que tal área é muito pequena, pois Pi X um valor muito pequeno se aproxima de zero.

Embora eu tenha tentado este caso com um triângulo, lados B (base) 6 unidades, lado A 5 unidades e lado C 5 unidades, e um círculo do mesmo perímetro, 16 unidades, e aí mostram que a área do triângulo 12 unidades quadradas é menor que o círculo 20,3718 unidades e, portanto, a proporção da área do círculo para o perímetro é 1,2732, enquanto a do triângulo é 0,7853; Eu gostaria de ser confirmado em meu experimento por outros agentes.

Assim,

Eu quero deixar a resolução desta questão para algum aritmético para tentar o caso para círculos de diâmetro 2, 3 , 4 … e assim por diante. Claramente, então, a área do triângulo será mais facilmente vista como menos do que um círculo do mesmo perímetro. Porque um triângulo, minha hipótese, confina o menor espaço de todas as formas regulares.

Espero que ajude.

Resposta

Uma vez que nos disseram que eles têm o mesmo área, a equação terá a fórmula para um círculo igual à fórmula para um quadrado: pi * “r” ao quadrado = “s” ao quadrado. De imediato, podemos notar que ambos os lados são quadrados, mas o lado esquerdo deve ser multiplicado por “pi” para igualar o lado direito. A lógica por si só pode nos levar a ver que o “r” = raio “é provavelmente menor que o” s “=” lado “. Portanto, podemos suspeitar que o perímetro do quadrado é maior, mas verifique. Vamos fazer uma mesa … e sempre que possível, seja preguiçoso … escolha pequenos números para “r” e resolva para “s”.

1 ao quadrado * pi = (raiz quadrada de pi) ao quadrado NOTA: r = 1 enquanto s = raiz quadrada de pi ou 1,77. Assim, circunferência do círculo: 2 * 1 * pi = 2 * pi = 6,28 enquanto perímetro do quadrado: 4 * (raiz quadrada de pi) = 4 * 1,77 = 7,0898 – Quadrado vence!

2 ao quadrado * pi aiz quadrada de 4 pi NOTA: r = 2 enquanto s = raiz quadrada de 4 * pi = 3,5448. Assim, circunferência do círculo: 2 * 2 * pi = 4 * pi = 12,566 enquanto perímetro do quadrado: 4 * (3,5448) = 14,1792 – Quadrado ganha!

3 ao quadrado * pi aiz quadrada de 9 pi. {You Do The Math – Quem você acha que ganha?}

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