Melhor resposta
Intuitivamente, um denominador de 3 implica que o número está “dividido” em três partes iguais. 27 dividido por 3 é 9. Ou seja, cada um dos 3 grupos é igual a 9.
2/3 indica que dos 3 grupos de 9, apenas 2 dos 3 grupos são preocupantes. Portanto, 2/3 é 9 + 9 = 18.
O 2/3 de 27 é 18.
Resposta
John K Williamsson deu uma boa resposta: para o que ele chamou de “soma suja” de \ frac {1} {2} e \ frac {8} {9} (o termo matemático para isso é mediante ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Ele sugere a use a álgebra para provar a desigualdade mediante : se a, b, c, d são números positivos e
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
então
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Desejo acrescentar que, no nível da escola primária, a desigualdade mediante não precisa de uma prova algébrica, é suficientemente evidente.
De fato considere frações \ frac {1} {2} e \ frac {8} {9} como descrições de situações da vida real:
\ frac {1} {2}: 2 crianças têm 1 saco de frutas .
\ frac {8} {9}: 9 crianças têm 8 sacos de frutas.
Eles se juntam e compartilham igualmente: 1 + 8 sacos de frutas entre 2 + 9 = 11 crianças, isto é, eles formam o mediante:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Nesse compartilhamento, qual grupo de crianças perde e qual ganha? Claro 2 crianças com 1 ganho de bolsa: elas têm \ frac {1} {2} bolsas por cabeça, o outro grupo vem com maior participação por cabeça: \ frac {8} {9}. Pelo mesmo motivo, as crianças do segundo grupo perdem.
Uso um exemplo com crianças e sacos de doces em minhas palestras; aqui substituí os doces por frutas mais politicamente corretas – talvez eu tenha que ir mais longe e usar vegetais verdes no lugar das frutas. A ideia original pertenceu ao grande Israel Gelfand e foi declarada em uma linguagem mais colorida:
Você pode explicar matemática para todos, até para bêbados. Se você perguntar a algumas pessoas bebendo vodka em um banco de parque, o que é maior, \ frac {2} {3} ou \ frac {3 } {4} , eles responderão com palavrões. Mas se você perguntar a eles, o que é melhor, 2 garrafas de vodka para 3 pessoas ou 3 garrafas de vodka para 4 pessoas, elas darão instantaneamente a resposta certa: de curso, 3 garrafas para 4 pessoas.
E esta conclusão instantânea vem de um argumento que é a reversão da prova informal da desigualdade mediante: como passar da situação “2 garrafas para 3 pessoas” à situação “3 garrafas para 4 pessoas”? Claro, isso significa que um quarto homem vem e traz consigo uma garrafa inteira – você pode imaginar, uma garrafa inteira de vodka! Na desigualdade mediante,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
ou
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Tenho visto alguns artigos que confirmam que este é um padrão típico de aritmética pensando, como feito por pessoas “normais” em situações da vida real (por exemplo, eu vi uma alegação de que é usado por enfermeiras de hospital para comparar doses de medicamentos, qual é maior e qual é menor).