Melhor resposta
Para Abhinav Rk: você postou esta pergunta há quase três anos, então talvez você não estão mais interessados em uma resposta. No entanto, sinto que sua pergunta foi mal interpretada em outras tentativas de respondê-la. Acho que você está pedindo a fórmula matemática que é codificada no Excel pela função PMT, quando há um valor futuro FV diferente de zero . Ao pesquisar sua pergunta, não consegui encontrar um único exemplo em que tal cálculo foi feito, muito menos uma discussão da matemática por trás dele. Aqui está minha tentativa de entender o problema, com a ressalva de que estou familiarizado apenas com as apresentações mais simples possíveis de matemática financeira, contando principalmente com o Capítulo 8 do livro de graduação “Pensando Matemática”, de Robert Blitzer, 7ª edição, Pearson, 2019. Não sou de forma alguma um especialista em matemática financeira.
Suponha que comecemos com a fórmula para calcular o pagamento periódico ( depósito) em uma conta de anuidade necessária para obter uma anuidade A. Isso é fornecido por
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ direita)} {\ esquerda [\ esquerda (1+ \ dfrac {r} {n} \ direita) ^ {nt} – 1 \ direita]}. \ tag {1} \ end {equation}
onde r é a taxa de juros expressa em decimal, n é o número de pagamentos por ano (por exemplo, n = 12 se o pagamento / depósitos mensais estiverem sendo efetuado) e t é o número de anos durante os quais o pagamento é efetuado. Para referência, o produto n \ vezes t é igual à variável “Nper” usada no Excel.
Se um valor PV é emprestado em um empréstimo, então o valor futuro do empréstimo sob essas condições é dado pela fórmula de juros compostos:
\ begin {equation} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
Normalmente, você deseja pagar o empréstimo com um pagamento igual ao depósito que seria necessário para atingir uma anuidade igual a este valor futuro, A = FV\_0, caso em que o valor futuro do empréstimo seria reduzido para FV\_0 = 0 (estou distinguindo este valor futuro com um subscrito 0, o que provavelmente parece um pouco estranho, mas acho que essa notação torna a matemática mais compreensível).
Se, no entanto, você deseja fazer um pagamento que deixa uma parte não paga do empréstimo, isto é, um valor futuro diferente de zero VF do empréstimo, então você deve configurar pagamentos em uma anuidade A que reduz o valor futuro para FV = FV\_0 – A. Resolvendo isso para A, o valor da anuidade a ser substituído na equação (1) é então A = FV\_0 – FV, e o pagamento é dado por
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ direita)} {\ esquerda [\ esquerda (1+ \ dfrac {r} {n} \ direita) ^ {nt} – 1 \ direita]}. \ tag {3} \ end {equation}
Substituindo FV\_0 da equação (1), isso pode ser escrito como
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {equation}
onde
\ begin {equation} C \, = \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} \ tag {5} \ end {equação}
é o fator de composição.
Na resposta de Abhinav Rk, um exemplo de problema é dado com o valor principal PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t = 5 anos e FV = -9000. Ele continua, referindo-se ao pagamento necessário para este exemplo, perguntando “Como faço para calcular isso manualmente”? O Excel fornece a ele o valor \ $ 459 como solução.
Para seu exemplo, acho que para o fator de composição (observe que para usar a fórmula I derivada, o valor futuro deve ser considerado positivo: FV = 9000):
\ begin {equation} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0,065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1,382817, \ tag * {} \ end {equation}
e quando este é substituído em equação (4) Recebo
\ begin {equation} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ vezes 1,382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0,064} {12} \ right)} {0,382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {equation }
de acordo com o que ele obteve usando o Excel.
Supondo que eu desenvolvi as equações corretamente, espero que isso possa ser útil para você ou outras pessoas interessadas na mesma questão.
Resposta
Da Ajuda oficial do Excel 2016:
Função PMT – Suporte do Office
Sintaxe
PMT (taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
Observação: para uma descrição mais completa dos argumentos em PMT, consulte a função PV.
A sintaxe da função PMT tem o seguintes argumentos:
- Taxa necessária. A taxa de juros do empréstimo.
- Nper Obrigatório. O número total de pagamentos do empréstimo.
- Pv Obrigatório.O valor presente, ou o valor total que uma série de pagamentos futuros vale agora; também conhecido como principal.
- Fv Opcional. O valor futuro ou um saldo de caixa que você deseja obter após o último pagamento ser feito. Se fv for omitido, será considerado 0 (zero), ou seja, o valor futuro de um empréstimo é 0.
- Tipo Opcional. O número 0 (zero) ou 1 e indica quando os pagamentos são devidos.
- Definir tipo igual a:
- 0 ou omitido Se os pagamentos forem devidos no final do período
- 1 Se os pagamentos são devidos no início do período
Matematicamente, isso pode ser implementado como:
pmt = Taxa * (Fv * -1 + Pv * (1 + taxa) ^ Nper)) / ((1 + taxa * tipo) * (1- (1 + taxa) ^ Nper)
Marca certifique-se de que as unidades de Nper e taxas sejam consistentes e que a entrada / saída de caixa apropriada seja contabilizada.
Abaixo está a equação mais simples (sem o Fv & Type) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Taxa * (1+ Taxa) ^ Nper) / [(1 + Taxa) ^ Nper – 1]