Melhor resposta
Pode ser respondida de três maneiras.
- 2,00,00,000 – Isso é 2 crore. O número de zeros é 7.
- 2 Crore – Nenhum zeros aqui. Apenas 2 e Crore, ainda crore tem o nele não pode ser considerado como zero.
- 2,00,00,000 significa, zeros que estão em números u = 2,00,00,000 vai de um intervalo de infinito negativo a 2 crore. Os supercomputadores também não podem calcular o número de zeros na faixa mencionada acima.
Resposta
A pergunta: “Por que qualquer número elevado à potência de zero é igual a um, mas zero elevado à potência de zero não dá resposta? ” é contraditório. Ele afirma que qualquer número (sem declarar o que constitui um número) elevado a um expoente de 1 sem nenhuma exceção (por exemplo, por meio de texto como “qualquer número exceto \_\_\_”), e então prossegue afirmando que 0⁰ “não dá resposta”. Bem, uma vez que 0 é um número, a primeira afirmação significa 0⁰ = 1, enquanto a segunda afirma que 0⁰ é indefinido – não podemos ter ambos verdadeiros.
Na verdade, a primeira afirmação deve ser considerada incondicionalmente verdadeira e a segunda afirmação como falsa; portanto, 0⁰ = 1.
Os argumentos usuais pedindo que 0⁰ seja considerado indefinido:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, que é indefinido, então 0⁰, que foi demonstrado ser igual a 0/0, também deve ser indefinido. (Algum valor positivo pode ser substituído por 1.) Esta é uma tentativa de usar uma lei de divisão de poderes, mas é uma tentativa inválida. A lei de divisão de poderes relevante não é simplesmente x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, mas tem restrições ou condições que devem ser declaradas e obedecidas. Uma das várias restrições é que nenhuma parte da aplicação desta lei de divisão de poderes envolve uma divisão por 0 ou um recíproco de 0. Essa restrição foi violada, portanto, não podemos escrever 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Como a igualdade para a etapa intermediária não é válida, não podemos dizer que a extremidade esquerda é igual à direita. O mesmo argumento inválido pode ser usado para provar que 0³ é indefinido, o que sabemos ser um absurdo: 0¹ = 0 por definição do expoente 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, que é indefinido.
- x ^ 0 = 1 para todos os valores diferentes de zero x . 0 ^ x = 0 para todos os x diferentes de zero. Se deixarmos x = 0, então as afirmações acima implicariam 0⁰ = 1 e 0⁰ = 0, o que é uma contradição, então 0⁰ deve ser indefinido. Quando as pessoas apresentam esse argumento, elas não param por tempo suficiente para pensar no que estão dizendo. A segunda afirmação é válida para, e apenas para, real positivo x . É incorreto dizer “para todos os x ” diferentes de zero para o segundo relacionamento. No entanto, a primeira relação é realmente válida para real negativo x , bem como para real positivo x , mais, além disso, o primeiro relacionamento é verdadeiro para todos os complexos e quatérnios diferentes de zero x , algo que o segundo relacionamento não pode dizer. Não faz sentido atribuir peso igual a um caso que funciona apenas para valores reais positivos a um caso que funciona para todos os valores reais, complexos e de quatérnio diferentes de zero – a generalidade muito mais ampla deste último vale muito. Além disso, para a segunda relação, o x = 0 caso em questão está na fronteira entre casos significativos e casos não significativos, então por que assumiríamos que os casos significativos são os que se aplicam e os que se aplicam sem ajuste?
- O limite de x ^ y como x e y a abordagem 0 de forma independente não existe porque o valor da tendência depende do caminho de abordagem de x e y em direção a 0 — há uma ampla faixa de valores possíveis. (Às vezes, esse argumento é combinado com o # 2 acima.) O problema com esse argumento é que se uma função é definida em um ponto e, se for o caso, qual é o valor, é independente de a função ter um limite próximo a esse ponto e, em caso afirmativo, qual é o valor do limite. É bem possível que nenhum dos dois exista; é bem possível que um exista, mas o outro não; é bem possível que ambos existam, caso em que os dois valores podem ou não ser iguais. Como resultado, o fato de x ^ y não ter um limite como x e y a abordagem 0 não diz nada sobre se 0⁰ é definido ou indefinido. A discussão dos limites com relação a se 0⁰ tem um valor é totalmente irrelevante.A função signum é um exemplo de função com um limite dependente do caminho, pois x se aproxima de 0, mas sgn 0 é definido – em particular, sgn x é definido como 1 para real positivo x , 0 para x = 0, e −1 para real negativo x , então x aproximando-se de 0 da esquerda produz um limite de -1 e x aproximando-se de 0 da direita produz um valor de 1, com o conflito significando que o limite não existem, embora sgn 0 = 0. Essa falta de limite não nos justifica dizer que sgn 0 deve ser indefinido.
Isso elimina os argumentos mais comuns que são usados para justificar considerando 0⁰ como indefinido, então agora isso levanta a questão de como, se houver, o valor 0⁰ deve ser definido como?
O argumento fundamental envolve o princípio de operação nula aplicado a multiplicação icação. O produto de nenhum fator deve ser considerado como a identidade multiplicativa 1; simbolicamente, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Para calcular x ⁰, x\_i = x; para calcular 0 !, x\_i = i.) Esta propriedade não depende se todos os candidatos x\_i são diferentes de zero, ou alguns são diferentes de zero e alguns são 0, ou todos são 0. Não há casos de exceção. Portanto, temos 0! = 1 e temos x ⁰ = 0 sem restrição para todos os quatérnios (não apenas todos os números reais, não apenas todos os números complexos), então 0⁰ = 1.
O outro critério chave é a utilidade. Os matemáticos definem as coisas porque são úteis para suas pesquisas. Se uma definição não é útil, não há sentido em torná-la, então 0⁰ = 1 é realmente útil, além do ponto de vista da regra do produto vazio? A resposta é um sim retumbante. Pegue a série de potências para \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Os matemáticos provaram que esta série de potências converge para todos os números complexos x e que o resultado é realmente \ text {e} ^ x. Como 0 é um número complexo e esta série de potências funciona para todos os números complexos, ela deve funcionar para x = 0. Vamos primeiro expandir a soma: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Então, o que acontece com x = 0? Temos: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Sabemos que 0 elevado a um expoente positivo é 0, o que se aplica a todos os termos, exceto o primeiro no lado direito do =; todos esses termos não fazem nada para que possam desaparecer. Também sabemos que qualquer número complexo diferente de zero elevado a um expoente de 0 é igual a 1 e e é um número complexo diferente de zero, portanto \ text {e} ^ 0 = 1. Portanto, agora temos: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Os matemáticos concordam que 0! = 1 (regra do produto vazio). Portanto, 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Veja o que acabamos de determinar: 0⁰ = 1. Para esta série de potências funcionar, devemos ter 0⁰ definido como 1 ou escrever uma advertência especial com a série de potências que se aplica a, e apenas para, complexo diferente de zero x e declarar explicitamente separadamente que e⁰ = 1. Por que tal complicação desnecessária de expressar a série de potências apenas para evitar definir 0⁰ = 1 sem nenhuma razão substantiva?
O mesmo tipo de coisa se aplica a várias outras séries de potências, a polinômios, ao teorema binomial, a vários problemas combinatórios e a outras aplicações. Existem muitos casos de simplificação e generalização significativas que ocorrem, então definimos 0⁰ = 1.
Não existem casos para os quais seja útil considerar 0⁰ como sendo definido como algum valor diferente de 1 nem como considerar 0⁰ como indefinido. A situação mais próxima que surge é em certas situações de pesquisa em análise real, onde é útil ter funções contínuas em todo o seu domínio. Por causa dos problemas com limites para x ^ y se aproximando de (0; 0), isso torna x ^ y descontínuo em (0; 0), independentemente se 0⁰ em si é definido e, em caso afirmativo, com qual valor. Retirar um ponto do domínio é efetivamente considerar a função como indefinida naquele ponto. No entanto, só porque é útil extrair (0; 0) do domínio de x ^ y para sua pesquisa, isso não significa que isso deva ser feito em todos os aspectos da matemática. Talvez eu precise lidar com funções bijetivas para suportar a invertibilidade. Se estou trabalhando com x ² e preciso de invertibilidade, devo restringir o domínio a algo como o conjunto de números reais não negativos, o que significa para meus propósitos que (- 3) ² é indefinido, o que seria uma restrição ridícula para impor a você; da mesma forma, alguns matemáticos que precisam de 0⁰ indefinido não significa que seja uma restrição imposta a todos os matemáticos.Na verdade, a regra do produto vazio prevalece no contexto de expoentes inteiros, enquanto os problemas com continuidade ocorrem apenas no contexto de expoentes reais. Uma solução possível é considerar 0⁰ = 1 quando o expoente é um inteiro 0, mas indefinido, o expoente é um 0 real; se parece estranho para você que a resposta depende se um valor é considerado um número inteiro versus um número real mais geral, isso não é exclusivo para 0⁰ para a função de potência, pois (-8) ^ {1/3} é considerado −2 se o −8 for considerado um número real, mas 1 + i√3 se o −8 for considerado um número complexo. A função de potência x ^ y parece tão simples, mas tem um comportamento realmente desagradável.