Melhor resposta
1×1
Explicação: Suponha , A 1ª matriz é de tamanho a * b e a 2ª matriz é de tamanho c * d (a & c correspondem à linha eb & d correspondem à coluna).
A multiplicação de matrizes entre as duas matrizes só será possível se b = ce matriz resultante terá tamanho a * d.
Aqui a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. como b = c, podemos multiplicar então e a matriz resultante terá o tamanho a * d (1 * 1)
Resposta
A matriz arbitrária de dois por dois é
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Pode ter um inverso multiplicativo A ^ {- 1} com a propriedade AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, a matriz identidade, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Vamos encontrar o inverso, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Temos dois sistemas lineares dois por dois separáveis,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Vamos fazer o primeiro, resolvendo para x e z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Do outro sistema obtemos
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
e similarmente
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Juntando tudo er nós vemos
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
A quantidade | A | = \ det (A) = ad-bc é chamado de determinante . É diferente de zero precisamente quando a matriz tem uma inversa. O determinante é multiplicativo – o determinante do produto de duas matrizes quadradas é o produto de seus determinantes.
A matriz \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} é chamada de adjugate denotado como \ textrm {adj} (A).
Vamos verificar se A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, a matriz que é toda zero exceto para o determinante nas diagonais.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( UMA) \; I \ quad \ checkmark
A resposta à pergunta é, se o denominador não for zero,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
é a matriz que multiplicamos por
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
para obter a identidade.