Se você multiplicar uma matriz 1×2 por uma matriz 2×1, quais são as dimensões da matriz resultante?


Melhor resposta

1×1

Explicação: Suponha , A 1ª matriz é de tamanho a * b e a 2ª matriz é de tamanho c * d (a & c correspondem à linha eb & d correspondem à coluna).

A multiplicação de matrizes entre as duas matrizes só será possível se b = ce matriz resultante terá tamanho a * d.

Aqui a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. como b = c, podemos multiplicar então e a matriz resultante terá o tamanho a * d (1 * 1)

Resposta

A matriz arbitrária de dois por dois é

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Pode ter um inverso multiplicativo A ^ {- 1} com a propriedade AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, a matriz identidade, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Vamos encontrar o inverso, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Temos dois sistemas lineares dois por dois separáveis,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Vamos fazer o primeiro, resolvendo para x e z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Do outro sistema obtemos

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

e similarmente

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Juntando tudo er nós vemos

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

A quantidade | A | = \ det (A) = ad-bc é chamado de determinante . É diferente de zero precisamente quando a matriz tem uma inversa. O determinante é multiplicativo – o determinante do produto de duas matrizes quadradas é o produto de seus determinantes.

A matriz \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} é chamada de adjugate denotado como \ textrm {adj} (A).

Vamos verificar se A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, a matriz que é toda zero exceto para o determinante nas diagonais.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( UMA) \; I \ quad \ checkmark

A resposta à pergunta é, se o denominador não for zero,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

é a matriz que multiplicamos por

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

para obter a identidade.

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