Melhor resposta
Um pentágono regular não tessela.
Para que um polígono regular tesselar vértice a vértice, o interior ângulo do polígono deve dividir 360 graus uniformemente. Como 108 não divide 360 igualmente, o pentágono regular não tessela dessa maneira.
Tentar colocar um dos vértices em uma aresta em algum lugar em vez de no vértice não funciona por razões semelhantes, os ângulos não não combinam.
Existem, no entanto, muitos pentágonos que fazem mosaico, como o exemplo abaixo, que agrupa vértice a vértice. Você pode ver que os ângulos de todos os polígonos em torno de um único vértice somam 360 graus.
Verificar a condição do ângulo é não é a única condição necessária para ver se os polígonos se entrelaçam, mas é muito fácil de verificar.
Resposta
Apenas três polígonos regulares se entrelaçam: triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. / p>
Nenhum outro polígono regular pode tesselar por causa dos ângulos dos cantos dos polígonos. Para tesselar um plano, um número inteiro de faces deve ser capaz de se encontrar em um ponto. Para polígonos regulares, isso significa que o ângulo dos cantos do polígono deve ser dividido em 360 graus. Além disso, para todos os polígonos convexos, a soma dos ângulos externos deve somar 360 graus, e para polígonos regulares isso significa que os ângulos externos devem ser iguais e somar 360 graus. Isso significa que o ângulo interno de um n-gon regular é 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. O número de n-gons regulares que você pode colocar em uma esquina é, portanto, \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, e só é possível quando é um inteiro .
Os triângulos equilaterais têm 3 lados, então você pode ajustar \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 triângulos equiláteros ao redor de um ponto. A tesselação não está descartada.
Quadrados têm 4 lados, então você pode ajustar \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 quadrados em torno de um ponto. Tesselação não está descartada
Pentágonos têm 5 lados, então você pode ajustar \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentágonos em torno de um ponto. Este não é um número inteiro, portanto o mosaico é impossível.
Os hexágonos têm 6 lados, então você pode ajustar \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 hexágonos. O mosaico não está descartado.
Mas mais lados do que isso? Bem, não é possível. Observe que \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, e que 2 < \ frac {2n} {n-2}, então para n> 6, você tem 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, então para heptágonos, octágonos, não -ágonos regulares, etc, você não poderia ajustar um número inteiro deles em torno de um ponto.
Isso não significa que não existem pentágonos, heptágonos, octágonos, etc. não pentágonos regulares, heptágonos regulares ou octógonos regulares, etc.