Melhor resposta
Sim.
Ele está fora do triângulo.
H é o ortocentro de \ Delta ABC.
Observe também que \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Resposta
Como você encontra o circuncentro e o ortocentro de um triângulo obtuso-angular fora do triângulo?
Uma maneira de determinar o circuncentro e o ortocentro para qualquer triângulo, obtuso ou não, é usando vetores e matrizes.
Introdução:
É “um pouco envolvido, então não haverá qualquer espaço para mostrar os cálculos.
Digamos que temos um triângulo com vértices A, B e C e que os comprimentos de seus lados opostos são a, b e c, respectivamente.
Definimos três vetores: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) e \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Agora, pecado Se os vetores são matrizes, podemos usar o formato de matriz onde um T após um vetor significa que ele é transposto. Portanto, \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2}, e \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Na verdade, são produtos escalares.
Para ajudar a evitar confusão, também usarei a notação \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2}, e \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Então, u \ equiv c, v \ equiv b , e w \ equiv a. Também usarei um chapéu para representar um vetor unitário, que é apenas um vetor que foi dividido por seu próprio comprimento e, portanto, possui um comprimento de 1. Por exemplo, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Matriz de transformação:
Agora definimos uma matriz de transformação. Se estiver trabalhando em 2 dimensões, será uma matriz 2×2 e se estiver trabalhando em 3 dimensões será uma matriz 3×3. Observe que \ theta\_ {A} é o ângulo entre \ vec {u} e \ vec {v}, que é o ângulo no vértice A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Usamos a matriz de transformação para definir outro vetor.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Fórmulas:
Seja H o ortocentro, que é o ponto onde as três altitudes de um triângulo se cruzam. Uma altitude corre de cada vértice em uma linha perpendicular à sua perna oposta.
Seja Q o circuncentro, que é o ponto onde as bissetoras perpendiculares de todos os três lados de um triângulo se cruzam. É o centro do circumcircle, que é um círculo que inclui todos os três vértices de um triângulo.
Agora, com algum trabalho, pode-se agora deduzir que
\ quad \ começar {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Usando os vértices do triângulo mencionado como vetores, podemos convertê-los em fórmulas simétricas.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Observe que nenhuma raiz quadrada e nenhuma trigonometria são é necessário encontrar os dois centros.