Cel mai bun răspuns
Un pentagon obișnuit nu se teselează.
Pentru ca un poligon regulat să teseleze vârf-vârf, interiorul unghiul poligonului trebuie să se împartă 360 de grade în mod egal. Deoarece 108 nu împarte 360 în mod egal, pentagonul regulat nu se teselează astfel.
Încercarea de a plasa unul dintre vârfuri pe o margine undeva în loc de pe vârf nu funcționează din motive similare, Nu se potrivește.
Există, totuși, o mulțime de pentagone care se teselează, cum ar fi exemplul de mai jos, care țiglă vârf-la-vârf. Puteți vedea că unghiurile tuturor poligoanelor din jurul unui singur vârf se ridică la 360 de grade.
Verificarea stării unghiului este nu este singura condiție necesară pentru a vedea dacă poligoanele sunt teselate, dar este foarte ușor de verificat.
Răspuns
Doar trei poligoane regulate teselate: triunghiuri echilaterale, pătrate și hexagone regulate.
Niciun alt poligon regulat nu poate fi teselat din cauza unghiurilor colțurilor poligoanelor. Pentru a tessela un plan, un număr întreg de fețe trebuie să se poată întâlni într-un punct. Pentru poligoane obișnuite, asta înseamnă că unghiul colțurilor poligonului trebuie să se împartă la 360 de grade. În plus, pentru toate poligoanele convexe, suma unghiurilor exterioare trebuie să fie de 360 de grade, iar pentru poligoanele regulate, ceea ce înseamnă că unghiurile exterioare trebuie să fie egale și să fie de 360 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul interior al unui n-gon regulat este 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Numărul de n-goni obișnuiți pe care îl puteți încadra după un colț este, prin urmare, \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2} și este posibil numai atunci când acesta este un număr întreg .
Triunghiurile echilaterale au 3 laturi, astfel încât să puteți potrivi \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 triunghiuri echilaterale în jurul unui punct. Teselarea nu este exclusă.
Pătratele au 4 laturi, astfel încât să puteți încadra \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 pătrate în jurul unui punct. Teselarea nu este exclusă
Pentagonii au 5 laturi, deci puteți încadra \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagoni în jurul unui punct. Acesta nu este un număr întreg, deci teselarea este imposibilă.
Hexagonele au 6 laturi, astfel încât să puteți potrivi \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 hexagone. Teselarea nu este exclusă.
Dar mai multe părți decât asta? Ei bine, nu este posibil. Rețineți că \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} și că 2 < \ frac {2n} {n-2}, deci pentru n> 6, aveți 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, deci pentru heptagoni obișnuiți, octogonii, nonagonii etc., nu puteți încadra un număr întreg dintre ei în jurul unui punct.
Acest lucru nu înseamnă că nu există pentagoni, heptagoni, octogoni etc. nu pentagoni obișnuiți, heptagoni obișnuiți sau octogonuri obișnuite etc.