Cel mai bun răspuns
Numerele raționale sunt relativ simple. Sunt o pereche ordonată de numere întregi (m, n) cu n \ neq0 sub relația de echivalență:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Ce? Ar fi trebuit să fie simplu? Ei bine, da. Toată acea gobbledygook de echivalență a fost doar pentru a se asigura că jumătate este jumătate, indiferent dacă este (1,2) sau (2,4) sau chiar (-33, -66). Și s-ar simți cu toții mai familiar dacă aș scrie asta ca \ frac12 = \ frac24 mai degrabă decât (1,2) \ equiv (2,4) deoarece 1 \ times4 = 2 \ times2. Dar, strict vorbind, cu asta începe o definiție riguroasă a numerelor raționale.
Acum că sunt tratate lucrurile ușoare, ce este un număr real? În ciuda numelui și a omniprezenței lor, numerele reale sunt mai degrabă fiare complicate. Poate că cea mai simplă construcție care se mapează la intuiția noastră este cea a tăieturi Dedekind . O tăiere Dedekind a numerelor raționale, \ Q, este o partiție în două seturi ne-goale (A, B) astfel încât A \ cup B = \ Q, fiecare element al lui A este strict mai mic decât fiecare element al lui B, iar A nu are cel mai mare element. Știu, capul tău se învârte deja, dar ideea este foarte simplă: doar tăiem linia numerică la un moment dat – toate raționalele din stânga sunt în A și toate raționalele din dreapta (sau la punctul) sunt în B. Dacă B are cel mai mic element, tăierea noastră a fost la un număr rațional. Dacă B nu are cel mai mic element, tăierea noastră a fost la un Numărul irațional. Următoarele reprezintă s tăierea Dedekind pentru rădăcina pătrată a două (un număr irațional):
(Sursa: Fișier: Dedekind cut- rădăcină pătrată a two.png – Wikipedia )
Oricum, tăierea, (A, B), reprezintă un număr real. Deoarece B = \ Q \ setminus A, putem reprezenta un număr real prin A însuși: un set ne-gol de numere raționale care este închis mai jos și nu are cel mai mare element. Într-un anumit sens, numerele reale iraționale umple „golurile” numerelor raționale.
O problemă cu această intuiție a „golurilor” este că numerele raționale sunt dense în reali – între oricare două numere reale distincte. există un rațional (de fapt infinit de mulți raționali). Acest vă poate face să credeți că există cel puțin atât de multe numere raționale pe cât există numere iraționale. Dar nu, cardinalitatea a setului de numere iraționale este strict mai mare decât cea a setului de numere raționale. Cumva numărul real „la sfârșitul” setului A de numere raționale este alăturat de o serie de alte numere reale pe care nu le pot descrie în raport cu mulțimea A. După cum am spus, numerele reale sunt fiare complicate: majoritatea dintre ele nu pot fi chiar descrise în ciuda presupusei lor „realități”.
amintesc de o diferență fundamentală între numerele raționale și real numere care necesită într-adevăr o diplomă în matematică pentru a înțelege corect, dar sper că aveți cel puțin o aromă a diferenței, dacă nu o apreciere completă a subtilităților.
Răspuns
Numerele reale sunt numere între numerele raționale . Ce înseamnă cu adevărat această afirmație?
Luați în considerare rădăcina pătrată a lui 2. Se poate arăta că nu este rațională. Dar putem afla care este valoarea ei, la orice grad de acuratețe, identificând toate raționalele care sunt mai mici decât ea și toate raționalele mai mari decât ea. Este între două seturi de numere raționale.
Acest lucru este valabil pentru orice număr real – cu excepția cazului în care este și rațional. Pentru orice număr real, există un set de numere raționale care sunt toate mai mici sau egale cu el și un alt set de raționale care sunt toate mai mari decât sau egale cu el și fiecare rațional se află într-unul sau altul dintre aceste două seturi . Acest tip de partiție a raționalelor este cheia construirii numerelor reale din raționale prin intermediul tăieturilor Dedekind.
Luați în considerare două seturi de numere raționale, L (mai jos) și H (mai mare), astfel încât fiecare număr din H este mai mare decât fiecare număr din L, iar cele două seturi împreună includ fiecare număr rațional. Știm că astfel de seturi L și H există pentru fiecare număr real pe care îl putem calcula algebric, dar acestea nu sunt singurele astfel de seturi.
În general, L ar putea avea un număr cel mai mare, Lmax ,, sau H ar putea avea un număr cel mai mic Hmin. În aceste cazuri, Lmax sau Hmin ar fi limita superioară a lui L și limita inferioară a lui H și ar fi rațională. Dacă nici Lmax, nici Hmin nu există – și știm că nu vor exista dacă am crea seturile dintr-un număr irațional cunoscut – definim limita superioară a lui L (care este și limita inferioară a lui H) ca număr real.
De fapt, de fiecare dată când aproximăm un număr irațional cu o fracție zecimală, creăm o astfel de partiție. De exemplu, dacă spunem că un număr irațional este 1,2345 … ceea ce spunem este că este mai mare de 1,2345, dar mai mic de 1.2346 și, pe măsură ce scriem mai multe numere în expansiunea zecimală, adăugăm mai multe numere la seturi care sunt mai mari decât și mai mici decât. numere reale. Numerele raționale sunt numărabile ; adică pot fi plasate într-o corespondență unu-la-unu cu numerele întregi. Numerele reale nu pot fi numărate.
Care este diferența dintre numerele reale și cele raționale?