Cel mai bun răspuns
Acesta este un moment bun pentru a arăta cum funcționează matematica luând un concept intuitiv, dar vag, și făcându-l precis prin definiții inteligente.
Ce ar trebui să înțelegem prin opus? Ei bine, un lucru rezonabil de înțeles este că, atunci când efectuăm o operație \ vee (numiți-o cum doriți, banana este un nume fin, de exemplu) pe x și opusul lui x ^ *, rezultatul ar trebui să fie un element neutru în banane n. Adică, x și „anti-x” ar trebui să se anuleze reciproc, astfel încât x \ vee x ^ * = n. Rețineți că, pentru moment, nu știm deloc despre banane, altele decât aceste proprietăți formale. Conceptul de a fi neutru ar trebui, în acest sens, să însemne că pentru orice y, ar trebui să avem y \ vee n = y, adică n nu afectează y atunci când banana este aplicată ambelor.
Acest concept de opoziție este unul fundamental în matematică, iar numele mai comun pentru x ^ * este invers al x în ceea ce privește operațiunea \ vee.
Când \ vee este adunarea obișnuită + a numerelor, x ^ * este notat -x, deoarece x + (- x) = 0 este elementul neutru. Într-adevăr, pentru orice y, y + 0 = y. Deci, în acest caz, opusul lui 0 este -0, care este 0 în sine!
Când \ vee este multiplicare, elementul neutru este 1 (de ce?). Atunci 0 nu are un opus, deoarece niciun număr de ori zero nu este unul. Există contexte în care matematicienii inventează un opus multiplicativ față de 0 și, de obicei, îl numesc \ infty, ceea ce are ceva sens.
Răspuns
Acesta fusese anterior subiectul unor dezbateri în comunitatea matematică până când Donald Knuth a corectat lucrurile în 1992, deci este de înțeles că persistă o anumită confuzie, dar convenția modernă este de a defini 0 ^ 0 = 1, din motive întemeiate.
Ce înseamnă 0 ^ 0 Rău? Poate că ați fost învățat că o putere zero este calculată prin împărțirea unei puteri a n-a la o putere a n-a (n> 0); acest lucru nu ajută în cazul lui 0 ^ 0 și îi determină pe unii oameni să asocieze 0 ^ 0 cu coeficientul nedefinit \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Acești oameni nu au reușit să-și dea seama că 0 ^ 2 este perfect bine definit și nu poate fi asociat cu coeficientul nedefinit \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – nu putem dovedi orice prin introducerea unei diviziuni la zero unde niciunul nu exista înainte.
Dar nu trebuie să apelăm deloc la divizare:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Dacă îți iau mere mere de n ori (n> 0) , nu vă mai rămân mere; dar dacă îți iau toate merele de 0 ori, tot ai toate merele. Mai concis, 0 ^ 0 = 1 este un caz al produs gol 0! = 1.
Deci, de ce a durat atât de mult timp ca să fie acceptat? Problema aparentă este că forma limitativă 0 ^ 0 este o formă nedeterminată, în sensul că \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 nu vă oferă nicio informație * despre limita \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: ar putea fi orice non-negativ număr real, \ infty sau poate să nu existe, în funcție de funcțiile particulare. Acest lucru părea să fie în conflict cu simpla intuiție de mai sus de peste un secol. Dar realizarea importantă este că nedeterminat formă limitativă 0 ^ 0 nu ne împiedică să atribuim o definiție valoare 0 ^ 0 . Nu sunt același obiect: formă limitativă 0 ^ 0 este doar o abreviere pentru limita menționată anterior, iar nedeterminarea sa înseamnă doar că exponențierea nu poate fi o funcție continuă în orice vecinătate din (0, 0).
Acest lucru nu ar trebui să fie prea surprinzător: de exemplu, \ lfloor 0 \ rfloor este, de asemenea, o formă nedeterminată (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor nu există, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), totuși, încă scriem \ lfloor 0 \ rfloor = 0 ca valoare.
Și astfel atribuim acum 0 ^ 0 valoarea utilă, care este 1. De ce este utilă asta? Deoarece ne permite să manipulăm exponențiale fără a adăuga cazuri speciale .
- Dacă \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n este un polinom , atunci p (0) = a\_0 este termenul său constant – dar nici măcar nu putem scrie un polinom în acest mod evident decât dacă 0 ^ 0 = 1. Același lucru este valabil și pentru seria infinită de puteri, unde d este înlocuit cu \ infty.
- Evaluarea infinitului serie geometrică : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} deci \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. este complet valid (și chiar continuu) pentru | x | , inclusiv la x = 0, dar necesită 0 ^ 0 = 1.
- Teorema binomială (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k păstrează chiar și atunci când a = 0 sau b = 0, dar necesită 0 ^ 0 = 1.
- regulă de putere \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) este valabil chiar și pentru n = 1 la x = 0, dar necesită 0 ^ 0 = 1.
- Răspunsul lui Jack Huizenga oferă un alt exemplu: numărul de funcții f \ colon S \ to T este \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, dar numai dacă 0 ^ 0 = 1.
- În Numerul bisericii codificarea naturilor, exponențierea este doar o aplicație funcțională și 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Sensul în care 0 ^ 0 este o formă nedeterminată este mai slab decât pentru alte forme nedeterminate. Pentru funcțiile complexe analitice f, g cu \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, avem întotdeauna \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, cu excepția cazului în care f este identic zero (caz în care limita nu există).
Donald Knuth oferă practic același răspuns în „ Două note despre notație ” (1992, p. 6), împreună cu istoricul istoric:
Cu toate acestea, lucrarea [Libri] [33] a produs mai multe valuri în apele matematice atunci când a apărut inițial, deoarece a stârnit o controversă cu privire la faptul dacă 0 ^ 0 este definit. Majoritatea matematicienilor au fost de acord că 0 ^ 0 = 1, dar Cauchy [5, pagina 70] listase 0 ^ 0 împreună cu alte expresii precum 0/0 și \ infty – \ infty într-un tabel de forme nedefinite. Justificarea lui Libri pentru ecuația 0 ^ 0 = 1 a fost departe de a fi convingătoare și un comentator care și-a semnat numele pur și simplu „S” a trecut la atac [45]. August Möbius [36] l-a apărat pe Libri, prezentând motivul fostului său profesor pentru a crede că 0 ^ 0 = 1 (practic o dovadă că \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). De asemenea, Möbius a mers mai departe și a prezentat o presupusă dovadă că \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 ori de câte ori \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Desigur, „S” a întrebat apoi [3] dacă Möbius știe despre funcții precum f (x) = e ^ {- 1 / x} și g (x) = x. (Și lucrarea [36] a fost omisă în liniște din înregistrarea istorică atunci când lucrările colectate ale lui Möbius au fost publicate în cele din urmă.) Dezbaterea s-a oprit aici, aparent cu concluzia că 0 ^ 0 ar trebui nedefinit. , nu, de zece mii de ori nu! Oricine dorește teorema binomială \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} să păstreze cel puțin un număr întreg negativ n trebuie să credem că 0 ^ 0 = 1, pentru că putem conecta x = 0 și y = 1 pentru a obține 1 în stânga și 0 ^ 0 în dreapta.
Numărul de mapări de la setul gol la setul gol este 0 ^ 0. trebuie să fie 1.
Pe de altă parte, Cauchy a avut motive întemeiate să considere 0 ^ 0 ca formă limitativă , în sensul că valoarea limitativă a lui f (x) ^ {g (x)} nu este cunoscută a priori când f (x) și g (x) abordează 0 independent. În acest sens mult mai puternic, valoarea 0 ^ 0 este mai puțin definită decât, să zicem, valoarea 0 + 0. Atât Cauchy, cât și Libri au avut dreptate, dar Libri și apărătorii săi nu au înțeles de ce adevărul era de partea lor.