Cel mai bun răspuns
În primul rând, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Acum, voi reprezenta funcția rădăcină pătrată prin seria sa Taylor. Voi calcula această serie Taylor aproximativ 16, doar pentru a fi ferit de orice rază de convergență enervantă. Apoi, voi aproxima \ sqrt {20} setând x = 20 în serie.
Definiția Seriei Taylor a oricărei funcții anylitice f \ left (x \ right) este următoarea:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Aici, f ^ {\ left (n \ right)} denotă al n-lea derivat al lui f. Va trebui să calculăm o mulțime de instrumente derivate și, sperăm, va exista un model oarecum ușor de remarcat.
f \ left (x \ right) va denota în continuare \ sqrt {x}.
Derivatul „zero” al lui f este pur și simplu f. Voi avea f \ left (16 \ right) ca coeficient al primului termen din serie. (Amintiți-vă, am decis să centrez seria Taylor în jurul 16 . Rădăcina pătrată a 16 este suficient de ușor – este doar 4 . Patru patru sunt 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Bine. Lucrurile vor deveni puțin provocatoare. Acum trebuie să calculăm derivata \ sqrt {x}.
Power Rule spune că \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. În acest caz, n = \ frac {1} {2} (dat fiind faptul că \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Prin urmare, \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. Următorul coeficient al seriei este, prin urmare, \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} sau pur și simplu \ frac {1} {8}.
Următorul termen din seria Taylor va fi deci f „\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} sau pur și simplu \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Iată suma parțială de până acum:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Bine. Acum, trebuie să calculăm a doua derivată a f \ left (x \ right) sau pur și simplu să calculăm derivata lui \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Acest lucru va necesita utilizarea regulii lanțului deoarece avem o funcție compusă în alta. O funcție va fi denumită în continuare cu g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, iar celălalt va fi denumit în continuare cu h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Funcția căreia dorim să găsim derivata este: f „\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Cu alte cuvinte, dorim să găsim derivata lui g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Regula lanțului spune că \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g „\ left (h \ left (x \ right) \ right) h” \ left (x \ right).
Derivatul lui g \ left (x \ right) este – \ frac {1} {x ^ 2} (conform regulii de putere). Derivatul lui h \ left (x \ right) este \ frac {1} {\ sqrt {x}} (conform regulii de putere și proprietății care implică \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf „\ left (x \ right)).
Acum avem acel \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Prin urmare, al treilea coeficient din serie este – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (sau mai simplu – \ frac {1} {256}).
Al treilea termen din serie este: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Întreaga sumă parțială până acum:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Voi continua să calculez a patra derivată a f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Al patrulea termen din secvență va fi \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Suma are acum patru termeni:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ dreapta) ^ 3} {3!} + \ cdots
Dacă continuăm cu acest model, atunci vom obține următorul model de coeficienți:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Acum este momentul să găsiți un model și să exprimați secvență cu o formulă explicită.
Al n-lea numitor poate fi reprezentat prin b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) ceea ce simplifică la b\_n = 2 ^ {5n-2} (cu valoarea inițială n ca 0). A fost ușor. Ce zici de numeratori?
Iată seria numeratorilor (ignorând modificarea semnelor, care va fi îngrijită mai târziu):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm …
…
Modelul numărătorilor este destul de simplu. Luați 945 și împărțiți-l la 105. Obțineți 9. Apoi, luați 105 și împărțiți-l la 15. Obțineți 7. Continuând: 15 împărțit la 3 este 5, 3 împărțit la 1 este 3 și 1 împărțit la 1 este 1. Produsele cu numere impare sunt implicate aici.
Al treilea termen \ left (n + 2 \ right) din secvența numeratorilor (cu excepția alternanței) este:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Formula numeratorilor este sub forma notației pi. Ar fi mai bine dacă este exprimat cumva folosind notația factorială.
Dacă împărțim produsul primelor 2n + 2 numere întregi la produsul numerelor întregi pare de la 2 la 2n, atunci vom obține produs al numerelor întregi impare de la 1 la 2n + 1. Cu alte cuvinte,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Acum putem elimina notația pi și o putem înlocui cu o expresie mai mică, mai elegantă. După cum puteți vedea, cele 2 din termen sunt multiplicate de la sine de n + 1 ori. Deci, putem scoate 2, așezați-l în fața capitalului pi și apoi ridicați 2 la puterea lui n + 1. Asta ne lasă cu:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Ecuația de mai sus poate fi scrisă mai simplu ca:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ stânga (n + 1 \ dreapta)!}
Este posibil să fi observat deja că seria dată de expresia de mai sus este dezactivată cu doi termeni. Pentru a rezolva această problemă, tot ceea ce trebuie să facem este să găsim toate n din formula numitorului și să le adăugăm cu 2. Va trebui să facem același lucru cu restul termenilor cu puteri de x.
Formula numitorului este în cele din urmă 2 ^ {5n + 8}.
Deoarece am schimbat seria, trebuie să le includem pe cele care au fost excluse, undeva în expresie. Vor exista alți termeni care apar înainte de notația sigma din expresie. Acești termeni sunt 4 și \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Coeficientul fiecărui termen din serie va fi:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
care simplifică până la:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Aceasta este formula pentru al n-lea coeficient pentru serie (acest lucru exclude primii doi termeni deoarece acești termeni ar provoca erori în formula pentru t\_n).
Acum putem începe să scriem notația sigma (amintiți-vă, am schimbat seria pentru a elimina termenii sassy, deci vor exista unele lucruri în partea din față a notației sigma).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Este o serie alternativă care începe cu un negativ, deci va trebui să înmulțim termenii cu puterea (n + 1) a -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ dreapta) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Curățat:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
Acum avem seria Taylor pentru această așa-numită funcție de „rădăcină pătrată”, care cu siguranță nu este un lucru pe calculatoare. Acum, tot ce mai rămâne de făcut este să aproximăm rădăcina pătrată a douăzeci folosind seria Taylor pe care tocmai am aflat-o.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Simplificat:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Am tastat expresia de mai sus în Desmos și am înlocuit \ infty cu 15. Desmos a evaluat suma. Deci, rădăcina pătrată de douăzeci este de aproximativ 4.472135955.
Am aprofundat acest răspuns pentru că altfel ar fi suficient de plictisitor.
Toți cei care pot folosi internetul au acces chiar și la cel mai științific dintre calculatoare. Funcția rădăcină pătrată este întotdeauna disponibilă 24/7/365. Datorită acestui fapt, îmi voi verifica răspunsul.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Vă mulțumim că ați citit.
Răspundeți
Ei bine, să încercăm fără calculator .
Găsiți numărul al cărui pătrat este doar mai mic de 20, este 4.
Găsiți unul al cărui pătrat este chiar peste 20 , este 5.
Deci, 4 qrt (20)
Odată identificat, calculați media acestor două numere, care este 4.5
AM ≥ GM și GM = √4 * 5 = √20.
Prin urmare, avem √20 .5
Deci, 4 qrt (20) .5
Calculați 4.5 pătrat … 4 * 5 + .25 = 20.25 …
Este puțin cam ridicat …
Deci, răspunsul ar trebui să fie în jur de 4.5 doar nu aproape de 4 .
Acum, să încercăm să îl găsim „mai corect”
Ia f (x) = sqrt (x)
f „(x) = o.5 / sqrt (x)
Acum, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Ia ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f „(x)
(seria lui Taylor trunchiată la primul ordin sau puteți apela Newton Metoda Raphson)
Acum, înlocuind x și ∆x, avem,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
Prin urmare, sqrt (20) ~ 4.472225
Și asta este ceea ce Google a oferit ca răspuns.
Deci, răspunsul nostru nu este atât de rău !!