Cel mai bun răspuns
Dat fiind Triunghiul Rt, laturile 18, 24, 30; Găsiți raza cercului înscris.
Răspuns scurt; formulele unei raze de cerc inscripționate într-un triunghi Rt este
Zona / (1/2 perimetru)
Zona este Înălțimea X Jumătate din bază; adică
18 * 12 = 216
Perimetrul este 18 + 24 + 30 = 72; și împărțit la 2
72/2 = 36
Raza cercului este 216/36 = 6 cm
Răspuns lung
Construcție:
Bisect AC și CA, la intersecție verificați locusul cu bisecția BC, Este ok, așa că dă drumul … ..
Cu o busolă și un creion faceți un cerc care atinge orice parte, urmând în jurul său atinge celelalte 2 laturi.
Intersecția etichetei AD și CE, O.
Din el scade o perpendiculară pe fiecare latură la P, la Q și la R.
Intersecția, O, este echidistantă de laturile AB, BC și AC. (A se vedea III mai jos)
I.
Luați în considerare Triunghiurile, BPO și BRO.
Unghiuri BO = BO (Construcție).
Linia BO este comună ambelor triunghiuri.
Unghiuri RO = PO (Unghiuri Rt construite).
Triunghiurile Ergo BPO și BRO sunt congruente.
Urmează că linia BP = BR.
Dar știm că BR = BC – r.
Deci BP = BC – r; sau 24 – r.
Prin același argument putem demonstra PA = AC -r: sau 18 – r.
Deci.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; și BP + PA = BA.
Combinând concluzii …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Înlocuind BA cu BP și PA și simplificând …
Deci, BA = 42 – 2r.
Dar BA = 30 (Date). Înlocuind BA.
30 = 42 – 2r … simplificând … 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Raza s-a dovedit a fi => 6 unități.
Aritmetica pare a fi,
Suma tuturor laturilor, a acestei serii de triunghiuri, / 12 = Raza inscripționată cerc.
18 + 24 + 30 = 72
Raza = 72/12 = 6.
Sper că te va ajuta.
Re ; formule în alte răspunsuri, vă mulțumesc fiecare. Nou pentru mine! … lol. Învăț ceva nou pe Quora în fiecare zi. Cel mai preferat este „zona / (0,5 * perimetru) = raza cercului inscripționat”… .216 / 36 = 6…
EDITARE 6/26 / 17
III.
Din construcția figurii,
Triunghiurile BPO și BOR sunt congruente, dovedite mai sus. De asemenea, APO și AOQ pot fi dovedite, de asemenea, congruente.
Ergo
Liniile OP = OR și OQ = OP. Deoarece OP este egal cu OR sau OQ, acestea sunt egale între ele, adică – OR = OQ. Prin urmare, aceasta este o dovadă că intersecția bisecției unghiurilor sale este centrul figurii, un triunghi dreptunghiular și echidistant de la cele 3 laturi ale sale.
QED
Răspuns
Vă mulțumim că ați pus această întrebare drăguță, domnule Lloyd – nu numai că răspunsul la întrebarea dvs. este un da , dar există infinit de multe (planare ) triunghiuri cu proprietățile pe care le solicitați și, după cum se dovedește, este posibil să sortați unele dintre ele frumos după razele cercurilor lor într-un astfel de mod că razele menționate urmăresc sau umbresc setul numerelor naturale 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, folosind următoarea discuție ca plan pentru o dovadă potențial mai formală, vom face arată o modalitate mecanică de a genera un triunghi ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt numere întregi și lungimea razei cărui cerc este un număr întreg n dat înainte de timp.
Bara laterală: aceste tipuri de întrebări au multe de făcut cu teoria numerelor elementare și foarte puțin de-a face cu geometria.
O familie de triunghiuri (plane) care este garantat pentru a avea proprietățile solicitate chiar de pe bat sunt așa-numitele Triunghiuri pitagoreice – triunghiurile drepte (deocamdată) ale căror lungimi ale tuturor laturilor sunt numere întregi.
Să fim de acord că lungimile laturilor unui triunghi pitagoric sunt întregi, strict pozitive, numerele a, b și c astfel încât:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Să fim de acord, de asemenea, că atunci când toate cele trei numere întregi a, b, c sunt coprimă atunci triunghiul pitagoric corespunzător este numit primitiv și să presupunem pentru un moment că am reușit cumva să găsim un astfel de triunghi primitiv a\_0 , b\_0, c\_0.
Deoarece relația din ( 1 ) nu are alți termeni liberi, rezultă că prin scalarea tuturor numerelor care formează un triunghiul pitagoric primitiv cu același număr strict k pozitiv:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
vom obține un nou triunghi care va fi:
- și pitagoric
- nu mai este primitiv (pentru k> 1)
- similar cu triunghiul pitagoric primitiv părinte a\_0, b\_0, c\_0
- mai mare decât triunghiul pitagoreic primitiv părinte a\_0, b\_0, c\_0
Urmează apoi că există infinit de multe triunghiuri pitagoreice neprimitive generate de un triunghi primitiv (dat) primitiv. Un anumit triunghi pitagoric primit este cel mai mic din familia , deoarece lungimile laturilor sale nu mai pot fi reduse. Nu există două triunghiuri pitagoreice primitive distincte care să fie similare.
Observăm în treacăt că în mod normal nu aruncăm afirmații matematice în brațe – le dovedim chiar atunci și acolo, ci pentru că centrul acestui răspuns nu este dovada proprietățile de mai sus le considerăm adevărate pe credință deocamdată (cereți dovezile relevante separat dacă sunteți interesat).
Astfel, este în mod tradițional interesul inițial să recuperați lungimile laturilor de primitiv Triunghiuri pitagoreice, deoarece toate celelalte triunghiuri pitagoreice pot fi generate din omologii lor primitivi, după cum s-a explicat mai sus.
Ca exercițiu, putem arăta că o parametrizare completă a soluțiilor pentru ( 1 ) este dată de:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
unde m și n sunt toate perechile a numerelor întregi coprimă cu paritate opusă cu m> n. Bitul paritate opusă înseamnă că unul dintre aceste numere, nu contează cu adevărat care dintre ele trebuie să fie impare, în timp ce celălalt – trebuie să fie par.
Din nou, dacă sunteți interesat, puneți o întrebare separată despre de unde a venit ( 2 ) – vom fi mai mult decât fericiți să vă prezentăm o deducere de acest fapt în afara benzii pentru a nu polua răspunsul curent cu prea multe informații tehnice.
Există o parametrizare alternativă a soluțiilor de ( 2 ) pe care îl omitem și aici.
Acum, considerăm un triunghi dreptunghiular arbitrar cu laturile a și b, hipotenuza c și inradiusul r (Fig. 1):
Dacă adăugăm ecuația verde la ecuația albastră prezentată în Figura 1 și folosim ecuația gri pentru x + y atunci vom găsi:
c + 2r = a + b \ tag * {}
de unde:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Acum presupunem că cele de mai sus sunt corecte triunghiul t este un primitiv triunghi pitagoric. Dacă luăm valorile a, b și c din ( 2 ) și le punem în ( 3 ) atunci vom avea:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Aici m ^ 2s se vor anula și n ^ 2s se vor dubla:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Factorizând 2n de la numitorul de mai sus, ajungem la:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
ceea ce înseamnă că:
r = n (mn) \ tag {4}
ceea ce ne spune că în orice triunghiul pitagoric primitiv, lungimea radiusului său este un număr întreg (nu uitați constrângerea m> n, vezi ( 2 )) deoarece o diferență de doi numere întregi este întotdeauna un număr întreg și un produs din două numere întregi este întotdeauna un număr întreg. mărit în mod uniform de un număr întreg strict pozitiv k> 1. Deoarece astfel de lungimi intră în ecuație ( 3 ) ca termeni strict liniari, pentru a obține lungimea radiusului corespunzător tot ce trebuie să facem este să înmulțim RHS din ( 4 ) de k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Astfel, în ambele sensuri, lungimea radiusului unui triunghi pitagoric este întotdeauna un număr întreg, deoarece obiectele (numerele) de pe RHS ale ( 4 , 5 ) sunt întotdeauna – o diferență de două numere întregi este întotdeauna un număr întreg și un produs de două numere întregi este întotdeauna un număr întreg.
Rețineți că ecuația ( 5 ) poate fi citită de la dreapta la stânga . Adică putem lua numerele întregi k, m, n ca intrare și apoi să le folosim ( 5 ) pentru a genera un inradius integral ca ieșire.
Acum să încercăm să mergem în direcția opusă – să vedem dacă putem plasa o ordine pe lungimea unui radiu și pe baza acestor informații recuperăm lungimile triunghiului pitagoric corespunzător.
Se pare că Pythagoras însuși, cu mulți ani în urmă, a reușit să producă o parametrizare parțială a soluțiilor ( 1 ) prin studierea triunghiurilor pitagoreice ale căror laturi mai scurte formează o succesiune de numere naturale impare consecutive a = 2n + 1.
În acest caz, pentru ca numerele relevante să rămână întregi lungimea laturii b și lungimea hipotenuzei c a unui mister Triunghiul pitagoreic trebuie să difere printr-o unitate: c = b + 1. Astfel, de la ( 1 ) avem:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Deschiderea parantezei de mai sus:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vedem că b ^ 2s și 1s se anulează:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
ceea ce înseamnă că:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Punerea acestor valori înapoi în ( 3 ) , descoperim că:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Nu este frumos?
Astfel – referința de sortare.
Cu alte cuvinte, dacă ne dați un număr natural arbitrar n> 0 atunci vom putea genera un triunghi pitagoric care are exact proprietățile pe care le solicitați:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
ceea ce înseamnă că familia de formule de mai sus enumeră lungimea integrală a radiusului unui triunghi cu lungimile integrale ale laturilor sale prin setul de numere naturale \ mathbb {N}.
De asemenea, înseamnă că putem scrie un program de computer, în limbajul de programare C, să zicem, ca mediu, înainte de timp care va genera triunghiurile solicitate la cerere:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Presupunând că am salvat codul de mai sus în fișierul ptr.c, construiți-l astfel:
gcc -g - o ptr ptr.c
și rulați-l așa:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
în cazul în care, pentru un fior ieftin, am inclus în mod dramatic ipotenuza lungimii 365.
Programul nostru acceptă o grămadă de numere naturale din promptul de comandă și pentru fiecare astfel de număr n generează un PitagoreicTriunghiul a cărui latură garantează că lungimea radiusului triunghiului este egal cu numărul natural de intrare n.
Formatul ieșirii noastre este: prima coloană arată valoarea radiusului n, a doua coloana arată valoarea lui a, a treia coloană arată valoarea lui b și a patra coloană arată valoarea lui c.
Mai mult decât atât, zona span> S din triunghiurile pitagoreice:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
este, de asemenea, garantat a fi un număr întreg, deoarece inserarea valorilor a și b din ( 2 ) în ( 9 ), găsim:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
care este întotdeauna un număr întreg.
În sfârșit, situația cu arbitrar, citit – nu dreptunghi, triunghiuri este mai delicată.
Dacă împărțim un astfel de triunghi în trei triunghiuri mai mici strânse, fără goluri și fără suprapuneri, așa cum se arată mai jos (Fig.2):
atunci, deoarece în acest caz întregul este egal cu suma părților sale, pentru aria S dintr-un astfel de triunghi vom avea:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
adică:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
dacă suntem de acord că P este perimetrul complet al triunghiului și că p este semiperimetrul triunghiului .
Rezultă atunci că pentru valoarea inradius r avem:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Astfel, pentru ca r să fie un număr întreg, atunci fie P trebuie să împartă în întregime 2S, fie p trebuie să împartă în întregime S.
De dragul argumentului să acceptăm să numim non planar triunghiuri dreptunghiulare ale căror laturi sunt întregi și a căror zonă este un număr întreg diofantin .
Acum există triunghiuri diofantine (compozite) astfel încât:
- să fie compozite sed de două pitagoreice triunghiuri de-a lungul unei părți comune și
- lungimea inradiusului lor este nu un număr întreg
Dovadă: zona triunghiului diofantin compozit 5, 5, 6, care este compus din două 3,4,5 triunghiuri pitagoreice de-a lungul laturii b = 4, este 12, în timp ce lungimea semiperimetrului său este 8. Dar 8 nu împarte în întregime 12. \ blacksquare
există (compozite) triunghiuri diofantine astfel încât:
- acestea sunt o compoziție a două triunghiuri pitagoreice de-a lungul unei laturi comune și
- lungimea radiusului lor este un număr întreg
Dovadă: zona celor 13,14, 15 triunghi diofantin compus, care este compus din două triunghiuri pitagoreice 5,12,14 și 9,12,15 de-a lungul laturii b = 12, este egal cu 84, în timp ce semiperimetrul său este egal cu 42. Însă 42 împarte întregi 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Există (necompozite?) Triunghiuri diofantine astfel încât:
- ele nu pot fi compuse din două triunghiuri pitagoreice, ci
- lungimea inradiusului lor este un număr întreg
Dovadă: aria triunghiului 65.119.180 este egală cu 1638, în timp ce semiperimetrul său este 182. Dar 182 împarte în întregime 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
Într-un triunghi drept candidat cu laturile a și b, de două ori aria 2S este egală cu produsul lui a și b, vezi ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Prin urmare, ambele numere a și b trebuie să împartă 2S.
Este cazul triunghiului nostru?
Nu
Niciuna dintre lungimile laturilor triunghiul nostru împarte magnitudinea egală cu 1638 \ cdot 2.
Iată de ce: factorizarea primă a lui 1638 \ cdot 2 este egală cu 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Factorizările prime ale lungimilor laturilor triunghiului nostru sunt :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Prin urmare, lungimea fără înălțime a triunghiului nostru poate fi exprimată ca un număr întreg (natural) și, astfel, un astfel de triunghi diofantin nu poate fi compus din două triunghiuri pitagoreice de-a lungul unei laturi comune care trebuie să joace rolul înălțimii triunghiului țintă. \ blacksquare
Vedem că, pentru a face o afirmație cuprinzătoare despre lungimea radiusului unui triunghi diofantin, trebuie să întreprindem o analiză mai atentă a situației și, după toate probabilitățile, să analizăm triunghiuri raționale .
Sper că nu am făcut discuția noastră prea complicată, dar este ceea ce este – teoria numărului elementar în principal.