Cel mai bun răspuns
Se poate răspunde în trei moduri.
- 2,00,00,000 – Aceasta este 2 milioane. Numărul de zerouri este 7.
- 2 Crore – Nu există zero aici. Doar 2 și Crore, încă crore are „o” în el, nu pot fi considerați zero.
- 2,00,00,000 înseamnă, zerouri care sunt în numere au = 2,00,00,000, de la o gama infinitului negativ la 2 crore. De asemenea, supercalculatoarele nu pot calcula numărul de zerouri din intervalul menționat mai sus.
Răspuns
Întrebarea „De ce se ridică orice număr la puterea zero egal cu unul, dar zero ridicat la puterea zero nu dă niciun răspuns? ” este auto-contradictoriu. Acesta afirmă că orice număr (fără a preciza ceea ce constituie un număr) ridicat la un exponent de 1 fără nicio excepție (cum ar fi prin intermediul textului „orice număr cu excepția \_\_\_”), și apoi afirmă că 0⁰ „nu dă niciun răspuns”. Ei bine, deoarece 0 este un număr, prima afirmație înseamnă 0⁰ = 1 în timp ce a doua afirmație spune 0⁰ este nedefinită – nu putem avea amândouă adevărate.
De fapt, prima afirmație ar trebui considerată ca fiind necondiționată adevărată și a doua afirmație ca falsă; prin urmare, 0⁰ = 1.
Argumentele obișnuite care solicită ca 0⁰ să fie considerat nedefinit:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, care este nedefinit, deci 0⁰, care s-a demonstrat că este egal cu 0/0, trebuie de asemenea nedefinit. (O anumită valoare pozitivă poate fi substituită cu 1.) Aceasta încearcă să utilizeze o lege de împărțire a puterilor, dar este o încercare nevalidă. Legea diviziunii relevante a puterilor nu este pur și simplu x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, ci are restricții sau condiții care trebuie enunțate și respectate. Una dintre mai multe restricții este că nicio parte a aplicării acestei legi de împărțire nu are voie să implice o divizare cu 0 sau un reciproc de 0. Această restricție a fost încălcată, deci nu avem voie să scriem 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Deoarece egalitatea pentru pasul de mijloc nu se menține, nu putem spune că capătul stâng este egal cu capătul drept. Același argument nevalid poate fi folosit pentru a demonstra că 0³ este nedefinit, ceea ce știm că este o prostie: 0¹ = 0 prin definiția exponentului 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, care este nedefinit.
- x ^ 0 = 1 pentru toate diferitele de zero x . 0 ^ x = 0 pentru toate diferitele de x . Dacă lăsăm x = 0, atunci afirmațiile de mai sus ar implica 0⁰ = 1 și 0⁰ = 0, ceea ce este o contradicție, deci 0⁰ trebuie nedefinit. Când oamenii susțin acest argument, nu fac o pauză suficient de lungă pentru a se gândi la ceea ce spun. A doua afirmație este valabilă pentru, și numai pentru, x pozitiv. Este incorect să se spună „pentru toate diferitele x ” pentru a doua relație. Cu toate acestea, prima relație este într-adevăr valabilă pentru x real negativ, precum și pentru x , plus, dincolo de asta, prima relație este adevărată pentru tot complexul și cuaternionul diferit de zero x , ceea ce a doua relație nu poate spune. Nu are sens să acordăm o greutate egală unui caz care funcționează numai pentru valori reale pozitive unui caz care funcționează pentru toate valorile reale, complexe și cuaternare care nu sunt zero – generalitatea mult mai largă a acestuia din urmă merită mult. În plus, pentru a doua relație, x = 0 caz în cauză se află la granița dintre cazurile semnificative și cazurile nesemnificative, deci de ce am presupune că cazurile semnificative sunt cele care se aplică și care se aplică fără ajustare?
- Limita x ^ y ca x și y independent abordarea 0 nu există deoarece valoarea tendinței depinde de calea de abordare a x și y spre 0 – există o bandă largă de valori posibile. (Uneori acest argument este combinat cu # 2 de mai sus.) Problema cu acest argument este că dacă o funcție este definită la un punct și, dacă da, care este valoarea, este independent dacă funcția are o limită care se apropie de acel punct și, dacă da, care este valoarea limitei. Este foarte posibil ca niciuna dintre ele să nu existe; este foarte posibil ca oricare dintre ele să existe, dar nu și cealaltă; este foarte posibil să existe ambele, caz în care cele două valori ar putea sau nu să fie aceleași. Ca urmare, faptul că x ^ y nu are o limită ca x și y abordarea 0 nu spune nimic despre dacă 0⁰ este definit sau nedefinit. Discuția limitelor cu privire la dacă 0⁰ are o valoare este total irelevantă.Funcția signum este un exemplu de funcție cu o limită dependentă de cale pe măsură ce x se apropie de 0, dar sgn 0 este definit – în special, sgn x este definit ca fiind 1 pentru pozitiv real x , 0 pentru x = 0 și −1 pentru negativ real x , deci x apropierea de 0 din stânga produce o limită de -1 și x apropierea de 0 din partea dreaptă produce o valoare de 1, conflictul însemnând că limita nu există, chiar dacă sgn 0 = 0. O astfel de lipsă de limită nu ne justifică să spunem că sgn 0 trebuie nedefinit.
Aceasta dispune de cele mai comune argumente care sunt folosite pentru a justifica în ceea ce privește 0⁰ ca nedefinit, așa că acum ridică întrebarea cu privire la ce valoare, dacă există, ar trebui să fie definită ca 0⁰?
Argumentul fundamental implică principiul operației nulare aplicat multipl ication. Produsul fără factori trebuie privit ca identitate multiplicativă 1; simbolic, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Pentru calculul x ⁰, x\_i = x; pentru calculul 0 !, x\_i = i.) Această proprietate nu depinde dacă toți candidații x\_i sunt diferiți de zero, sau unii sunt diferiți de zero și unii sunt 0, sau toți sunt 0. Nu există cazuri de excepție. Astfel, avem 0! = 1 și avem x ⁰ = 0 fără restricție pentru toate cuaternioanele (nu doar toate numerele reale, nu doar toate numerele complexe), deci 0⁰ = 1.
Celălalt criteriu cheie este utilitatea. Matematicienii definesc lucrurile pentru că sunt utile pentru cercetarea lor. Dacă o definiție nu este utilă, nu are rost să o faceți, deci 0⁰ = 1 este de fapt util, în afară de punctul de vedere al regulii produsului gol? Răspunsul este un Da răsunător. Luați seria de putere pentru \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematicienii au demonstrat că această serie de puteri converge pentru toate numerele complexe x și că rezultatul este într-adevăr \ text {e} ^ x. Deoarece 0 este un număr complex și această serie de puteri funcționează pentru toate numerele complexe, trebuie să funcționeze pentru x = 0. Să extindem mai întâi suma: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Deci, ce se întâmplă pentru x = 0? Avem: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Știm că 0 ridicat la un exponent pozitiv este 0, care se aplică tuturor termenilor, cu excepția primului din partea dreaptă a =; toți acești termeni nu fac nimic pentru a putea dispărea. Știm, de asemenea, că orice număr complex diferit de zero crescut la un exponent de 0 este egal cu 1 și e este un număr complex diferit de zero, deci \ text {e} ^ 0 = 1. Prin urmare, avem acum: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematicienii sunt de acord că 0! = 1 (regula produsului gol). Prin urmare, 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Uită-te la ceea ce tocmai am stabilit: 0⁰ = 1. Pentru ca această serie de puteri să funcționeze, trebuie fie să avem 0⁰ definit ca 1, fie să scriem o avertizare specială cu seria de putere pentru care se aplică și numai pentru complexul diferit de zero x și afirmați în mod explicit separat că e⁰ = 1. De ce o astfel de complicație inutilă a exprimării seriei de putere doar pentru a evita definirea 0⁰ = 1 fără un motiv de fond?
Același tip de lucru se aplică numeroaselor alte serii de putere, polinoamelor, teoremei binomului, diferitelor probleme combinatorii și altor aplicații. Există multe cazuri de simplificare și generalizare semnificative care apar atunci definim 0⁰ = 1.
Nu există cazuri pentru care este util să considerăm că 0⁰ să fie definit ca o altă valoare decât 1 și nici considera 0⁰ ca nedefinit. Cea mai apropiată situație care apare este în anumite situații din cercetarea în analiză reală, unde este util ca funcțiile să fie continue în întregul domeniu al acestora. Datorită problemelor cu limite pentru abordarea x ^ y (0; 0), acest lucru face ca x ^ y să fie discontinuă la (0; 0), indiferent dacă 0⁰ în sine este definit și, dacă da, la ce valoare. Retragerea unui punct din domeniu privește efectiv funcția ca nedefinită în acel moment. Cu toate acestea, doar pentru că este util să scoateți (0; 0) din domeniul x ^ y pentru cercetarea dvs., asta nu înseamnă că acest lucru trebuie făcut în toate aspectele matematicii. S-ar putea să trebuiască să mă ocup de funcțiile bijective pentru a susține invertibilitatea. Dacă lucrez cu x ² și am nevoie de inversibilitate, trebuie să restricționez domeniul la ceva asemănător setului de numere reale nenegative, ceea ce înseamnă pentru scopurile mele că (- 3) ² este nedefinit, ceea ce ar fi o restricție ridicolă care ți se impune; la fel, unii matematicieni care au nevoie de 0⁰ nedefinit nu înseamnă că este o restricție care se impune tuturor matematicienilor.De fapt, regula produsului gol prevalează în contextul exponenților întregi, în timp ce problemele cu continuitate apar doar în contextul exponenților reali. O soluție posibilă este de a considera 0⁰ = 1 atunci când exponentul este un număr întreg 0 dar nedefinit exponentul este un 0 real; dacă acest lucru vi se pare ciudat că răspunsul depinde dacă o valoare este considerată a fi un număr întreg versus un număr real mai general, acest lucru nu este unic pentru 0 to pentru funcția de putere, deoarece (-8) ^ {1/3} este considerat a fi −2 dacă −8 este considerat ca un număr real, dar a fi 1 + i√3 dacă −8 este considerat ca un număr complex. Funcția de putere x ^ y arată atât de simplă, dar are un comportament foarte urât.