Cel mai bun răspuns
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
raspuns
Lucrul fundamental despre zecimal este că acesta este doar unul dintre multe forme utilizate pentru a reprezenta numerele. Cu toate acestea, este o formă atât de obișnuită, încât mulți (fără vina lor) vin să asocieze numărul cu forma însăși. Și dacă două numere au două forme diferite, atunci acestea trebuie să fie numere diferite, nu?
Dar ce zici de următoarele două numere:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {și} \ quad \ frac {1} {2}?}
Reprezentări destul de diferite , dar parcurgând și făcând calculele / anulările necesare, aproape sigur mă veți crede că aceste două forme reprezintă același număr .
De ce?
Deoarece atunci când suntem învățați fracțiile, suntem învățați încă dintr-un stadiu incipient că două fracții pot fi același număr și că sunt în formă redusă dacă numeratorul și numitorul nu au factori comuni care depășesc 1.
Și ne menținem la asta.
Suntem convinși de asta prin experiență și repetarea acelei experiențe și putem folosi diferite forme pentru a verifica acea experiență.
Nu atât de mult cu „zecimale”, darămite de alte poziții forme.
Lucrul îngrijit despre reprezentările zecimale ale numerelor este că pentru majoritatea numerelor (într-un anumit sens tehnic) forma zecimală este într-adevăr unic (dar în majoritatea acestor cazuri – în același sens – este impracticabil să scrieți în detaliu, să spunem așa).
Există, totuși, câteva excepții. Prin „puțini” vreau să spun că, în comparație cu întregul „lot” de numere care pot fi scrise în principiu (dacă nu în practică) în zecimal.Excepțiile sunt acele numere care sunt raționale, iar numitorii lor (în formă redusă) au numai puteri de 2 și / sau puteri de 5.
Instrumentul pe care trebuie să-l înțelegeți este esența unei serii geometrice convergente.
O serie geometrică convergentă (infinită) este o serie a formei
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Când seria se termină după un număr finit de termeni cu cea mai mare putere N este destul de ușor de confirmat că seria însumează
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
și ne întrebăm ce înseamnă să ai o sumă infinită. Definiția convențională este că termenii se micșorează suficient de repede încât valoarea totală să se apropie de o limită finită pe măsură ce N devine în mod arbitrar mare. Investigarea acestei idei ne conduce la o condiție, care este aceea că raportul comun r trebuie să se situeze între (dar să nu fie fie) -1 și 1. Or, | r | , echivalent cu -1 .
Apoi formula devine
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
ca termen r ^ N \ to0.
Acum amintiți-vă cum este definită notația zecimală: într-adevăr este doar o prescurtare pentru o serie de forme
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
unde k este cea mai mare putere diferită de zero, care este mai mică decât numărul, iar a\_i, b\_j sunt cifrele zecimale (numere întregi de la zero la nouă).
Numărul 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 este un număr al acestei forme, unde k = 0 și a\_0 = 9 = b\_j pentru toate numerele întregi pozitive j. Din fericire, acest lucru ne oferă precis forma unei serii geometrice! (Rețineți că fiecare număr în formă zecimală în care cifrele sunt diferite de la 9 la dreapta este delimitat mai sus de o serie ca aceasta.)
Putem doar să conectăm lucrurile: primul termen este a = 9 , iar raportul comun este r = \ frac {1} {10} . Deci, imediat știm că această serie converge!
Obținem
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Foarte îngrijit.
Există, desigur, și alte trucuri pot folosi pentru a demonstra că 9. \ dot9 = 10 (în zecimal, oricum …), dar cel mai bun lucru (în mintea mea) este să înțeleg ceva despre ceea ce înseamnă notația și cum funcționează – și apoi este ușor să te înțelegi cu faptul că, chiar și în notația pozițională, nu fiecare număr este reprezentat într-un singur mod.
În general, dacă avem o bază validă b, numărul reprezentat în acea bază pozițională cu forma 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots este întotdeauna egal cu 1. Astfel în binar (de exemplu), unde 0.1 = \ frac {1} {2}, avem 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. „Metoda” serie infinită funcționează în același mod pentru a demonstra acest rezultat.