Cel mai bun răspuns
Există multe răspunsuri bune scrise pentru a vă ajuta să vizualizați ce înseamnă această întrebare pentru a ajunge intuitiv la un răspunsul de 3. Și nimic din ce scriu aici nu este destinat să îndepărteze nimic de valoarea acestor răspunsuri. Aceștia îi ajută pe noii studenți să se gândească la legătura dintre matematică și modelare într-un mod concret, iar aceasta este o abilitate UMERĂ.
Cu toate acestea, matematica nu este modelare. Deci, o modalitate alternativă de a gândi această problemă este dintr-o perspectivă pur matematică. Și dacă dezvoltați această abilitate, veți lucra în direcția capabilității de a face față unor tipuri mai abstracte de matematică care de multe ori pun capăt carierei matematice a studenților care se bazează exclusiv pe o abordare mai centrată pe model, mai intuitivă.
Ați întrebat „Ce este 3/4 împărțit la 1/4?”
Chiar în mijlocul întrebării dvs. ați folosit termenul „împărțit la”. Pentru un matematician, acesta este un indiciu pentru a căuta imediat DEFINIȚIA diviziunii. Definițiile sunt cărămizile pe care este construită matematica.
O definiție a divizării (în acest context) este:
Având două numere, a și b (cu b \ ne 0), a împărțit la b este c dacă c ori b este egal cu a.
Deci acum știu ce înseamnă „împărțit prin”. Putem aplica această definiție problemei tale? Ei bine, întrebi despre 3/4 împărțit la 1/4. Se pare că ai două numere (din care al doilea nu este zero) și vrei să afli rezultatul la primul împărțit la al doilea. Deci, s-ar părea că această definiție este EXACT ceea ce aveți nevoie.
Deci, acum începe jocul. Răspunsul la problemă va fi orice număr, c, astfel încât \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Iată veștile bune. Acum știm cum să verificăm dacă un răspuns este sau nu răspunsul corect. Înmulțim doar 1/4 cu răspunsul candidatului și dacă rezultatul este 3/4, răspunsul candidatului este corect.
Vestea proastă este că, dacă răspunsul candidatului NU este corect, nu suntem mai aproape de găsind răspunsul corect. Cu alte cuvinte, definiția nu ne ajută să GĂSIM răspunsul corect. Ne ajută doar să verificăm dacă un răspuns candidat este corect.
Deci, ce putem face? Încercarea și eroarea pentru totdeauna pare o idee proastă. Se pare că este timpul să inventăm o regulă care să ne ofere întotdeauna răspunsul corect.
Propun această regulă. Având în vedere două numere a și b \ ne 0, a împărțit la b trebuie să fie întotdeauna egal cu de ori reciprocul lui b (adesea notat \ frac 1b).
Înainte de a putea folosi această regulă, desigur, trebuie să ne asigurăm că funcționează întotdeauna. Asta numim o dovadă. Dovada aici este ușoară, deoarece regula îmi oferă o soluție candidat, iar definiția îmi spune exact cum să verific o soluție candidat.
Este adevărat că a \ times \ frac 1b = a împărțit la b? Ei bine, definiția spune că răspunsul va fi c dacă c ori b este egal cu a. Deci, putem înmulți candidatul nostru, a \ times \ frac 1b cu b pentru a obține a? Deoarece multiplicarea este comutativă, în mod clar putem. Și regula este dovedită. (Tocmai am demonstrat prima noastră teoremă despre diviziune. Dacă definițiile sunt la baza cărămizilor matematice, teoremele și dovezile sunt mortarul care le ține împreună și le permite să fie folosite pentru a construi structuri excelente.)
s-ar părea că răspunsul la problema noastră este că 3/4 împărțit la 1/4 trebuie să fie egal cu produsul lui 3/4 și reciprocul de 1/4. Grozav! Nu?
Ei bine, acum ne-am schimbat problema diviziunii în două probleme. Una este o problemă de multiplicare. Cealaltă este „Cum găsesc reciprocitatea 1/4?”
Presupun că știi cum să înmulțești numerele, așa că într-adevăr avem doar o întrebare despre găsirea reciprocelor. Într-adevăr, aceasta este doar o altă problemă de diviziune. Într-adevăr, vă cer acum să găsiți 1 împărțit la 1/4. Asta nu pare a fi o victorie la început, pentru că am revenit la divizie. Dar susțin că este un câștig, deoarece am trecut de la a ne da seama cum să împărțim ORICE a la b în acum doar să găsim 1 împărțit la b pentru orice b diferit de zero. Și vestea bună este că este ușor să înveți cum să ghici reciprocul potrivit. Și odată ce îl ghiciți, îl puteți verifica, deoarece exact așa vă spune definiția cum să faceți.
Reciprocul de 1/4 este 4. Putem verifica că, din moment ce reciprocul înseamnă 1 împărțit la 1 / 4, iar definiția spune că 4 este răspunsul atâta timp cât 4 înmulțit cu 1/4 dă 1. Și într-adevăr acest lucru este adevărat.
Deci, în cele din urmă, am aflat că 3/4 împărțit la 1 / 4 este egal cu 3/4 ori 4. Și din moment ce știu să mă înmulțesc (de exemplu prin adăugarea a 4 exemplare a numărului 3/4), concluzionez că răspunsul este 3. Și dacă sunt cu adevărat atent, reveniți înapoi și verificați rezultatul folosind definiția doar pentru a fi sigur că nu am făcut erori. Deci este 1/4 înmulțit cu 3 egal cu 3/4? Într-adevăr, așa că acum s-a verificat că 3 este soluția corectă.
Acum, acest răspuns pare ÎNTR-adevăr lung și complicat – în special pentru un nou venit la matematică. Înțeleg.Într-adevăr, veți primi răspunsul mult mai repede cu ajutorul unui calculator sau Google sau folosind unele tehnici (nedovedite pentru dvs.) pe care majoritatea dintre noi le învățăm la începutul școlii. Dar nu asta este deloc punctul.
Ceea ce am învățat cu adevărat nu este răspunsul la ACEASTĂ problemă. Ceea ce am învățat cu adevărat este că divizarea oricăror două numere necesită să știm să facem două lucruri. În primul rând, trebuie să știm cum să împărțim UNUL cu orice număr (diferit de zero) pentru a obține un reciproc. Și în al doilea rând, trebuie să știm cum să înmulțim orice două numere. Și acest adevăr este mult mai interesant și mai profund decât să cunoaștem răspunsul la această întrebare. Iertați metafora suprautilizată, dar învață un om să pescuiască mai degrabă decât să-i dea un pește.
Și puterea reală este că pune diviziunea într-un context care îi permite să poată fi generalizat. Și generalizările împărțirii a două numere duc la idei importante. Și despre asta se referă de fapt la matematică!
Răspuns
Michael Lamar explică foarte bine în răspunsul său de ce înțelegerea noțiunii abstracte de diviziune este matematic mai importantă decât răspunsul specific la \ frac34 \ div \ frac14, așa că mă voi arunca direct în generalizare:
Ce este \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
În un Câmp fiecare element diferit de zero a are un invers multiplicativ unic a „astfel încât
\ quad a \ times a” = a ” \ times a = 1 identitatea multiplicativă.
Diviziunea este definită în termeni de multiplicare:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a „
Inversul multiplicativ al unei fracții este dat prin inversarea fracției deoarece:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 prin urmare \ left (\ frac {p} {q} \ right) „= \ frac {q} {p} (cu excepția p = 0).
Prin urmare, diviziunea noastră este dată de:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Pentru un matematician în devenire, acesta răspunde la întrebare, cel puțin în contextul unui câmp. Adevăratul matematician (pur) va dori apoi să vadă cum se poate generaliza în continuare.
Alții vor fi mai interesați să obțină răspunsul specific la întrebarea originală prin instanțierea n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 pentru a obține:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Încă nu destul de 3, dar puteți ajunge acolo cu ceva mai multă abstracție: un exercițiu pe care îl voi lăsa cititorului interesat. p> De altfel, pentru acel matematician în devenire, ați putea dori să verificați dacă în câmp finit \ mathbb F\_5 avem:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 deoarece \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 și \ frac12 \ equiv3