Cel mai bun răspuns
Din punct de vedere teoretic probabilistic, un câmp aleatoriu este o familie de variabile aleatorii indexate de o varietate.
Permiteți-mi să explic:
Un proces stochastic este o familie de variabile aleatorii \ {X (t) \} \_ {t \ în T}, unde pentru fiecare t, X (t) este o variabilă aleatorie, și t variază în setul T numit set de indici. Teoretic, definiția nu pune nicio restricție asupra setului de indici T, poate fi orice set. Cu toate acestea, atunci când spunem proces stochastic, 99\% din timp ne gândim de fapt t ca timp, prin urmare, T trebuie să fie linia reală sau setul de numere întregi sau o parte a acestora.
Când aceasta este nu este cazul, cel mai frecvent, atunci când T este de fapt un spațiu euclidian cu o dimensiune superioară sau o parte a acestuia, sau ceva de genul acesta (o „varietate”), atunci \ {X (t) \} \_ {t \ în T} este numit câmp aleatoriu. Ideea este că, deoarece indicele nu mai este unidimensional, nu îl putem gândi ca timp, deci îl considerăm ca spațiu. Drept urmare, nu obținem un „proces”, obținem un „câmp”. Astfel, ceea ce obținem este o suprafață aleatorie sau o funcție multivariantă aleatorie.
Răspuns
O variabilă aleatorie este definită ca o măsurabilă function
X: \ Omega \ mapsto \ R
Unde \ Omega este un Spațiu de probabilitate – Wikipedia .
Nu vă faceți griji atât de mult cu privire la partea „măsurabilă”; principalul punct pe care vreau să-l subliniez aici este că, în special în matematică și fizică, există un fel de echivalență între funcții și variabile .
De exemplu, o formă obișnuită a regulii lanțului din Calcul spune:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
dar acest lucru are sens numai dacă y este implicit o funcție a u și u este implicit o funcție a x. în partea stângă, y reprezintă de fapt (și implicit) funcția compusă y = y (u (x)).
De asemenea, vedeți acest tip de notație funcțională ca variabilă tot timpul în ecuații diferențiale. De exemplu, atunci când cineva scrie o ecuație diferențială ca
y „= y
este pur și simplu înțeles că y este o funcție pe un domeniu nespecificat, adică y = y (x), și că y „reprezintă funcția \ frac {dy} {dx} și = semn înseamnă egalitate de funcții. Acea „multă configurare încorporată în acea notație!
Mentionez acest lucru deoarece variabilele aleatoare funcționează exact în același mod. Scriem X, dar acest simbol se referă la o funcție X (\ omega). O variabilă aleatorie este o funcție al cărei domeniu este un spațiu de probabilitate. Spațiul de probabilitate nu este aproape niciodată explicit în notație, dar trebuie definit în context.
În ceea ce privește motivul pentru care este numit „aleator”, acesta este doar cuvântul pe care îl folosim pentru lucruri care depinde de un spațiu de probabilitate. Dacă spun „conta 1 pentru capete, -1 pentru cozi”, am „definit atât spațiul de probabilitate \ Omega = \ {capete, cozi \} (probabil cu distribuție uniformă) și o variabilă aleatorie X (capete) = 1, X (cozi) = – 1. Simbolul X nu denotă un număr real, ci mai degrabă o funcție cu un domeniu „aleatoriu”, unde „aleatoriu” poate fi vag definit ca „având o distribuție cunoscută a rezultatelor”.