Cel mai bun răspuns
Termenul „set de puncte” nu are o definiție matematică standard, din câte știu. Expresia „Să fie X un set de puncte” nu are sens. În „topologie set-punct”, expresia „set-punct” este un adjectiv care modifică „topologie”, spre deosebire de „topologie algebrică” sau „topologie diferențială”.
- Topologia punct-set studiază spațiile topologice potențial patologice dintr-un punct de vedere esențial teoretic.
- Topologia algebrică folosește algebra omologică pentru a analiza spații continue adecvate.
- Topologia diferențială utilizează calculul pentru a studia spațiile netede.
Modificatorul „set-punct” la topologie denotă, prin urmare, că lucrați potențial într-un context în care spațiile dvs. sunt nu poate fi studiat prin metode continue sau diferențiabile.
Răspuns
O linie poate fi considerată ca fiind formată din puncte, dar nu sunt sigur că acesta este cel mai bun mod de a mă gândi la asta. Și sunt destul de sigur că ar trebui să evitați să spuneți că o linie este „formată din” puncte, deoarece niciuna dintre ele nu este mai fundamentală decât cealaltă.
În geometria axiomatică, liniile și punctele sunt entități fundamentale distincte. Două linii se intersectează într-un punct și există o ordine strictă de puncte distincte pe orice linie dată. O caracteristică interesantă a geometriei proiective este simetria între puncte și linii: există o dualitate formală între ele. Afirmația despre două linii care se întâlnesc într-un punct este în mod formal echivalentă cu dubla sa – două puncte definesc o linie. În vizualizarea duală, un punct este „format din” linii.
În ceea ce privește cardinalitatea punctelor de pe o linie: aceasta depinde de construcțiile pe care le permiteți. Cu tradiționalele „rigle și busole nemarcate” există doar un număr numărabil de puncte pe care le putem atinge pe o linie. Permițând limitele secvențelor de puncte, în general, putem ajunge la orice punct de pe linia numărului real, care are cardinalitatea nenumărată a continuumului. Dar nu există niciun motiv special pentru a ne opri aici: putem construi, să zicem, linia numerică suprarealistă în care punctele distincte pot fi apropiate infinit de mult și există foarte multe dintre ele (dincolo de nenumărate!).