Cel mai bun răspuns
Intuitiv, un numitor de 3 implică faptul că numărul este „împărțit” în trei părți egale. 27 împărțit la 3 este 9. Adică, fiecare dintre cele 3 grupuri este egal cu 9.
2/3 indică faptul că din cele 3 grupuri de 9, doar 2 din cele 3 grupuri sunt îngrijorătoare. Prin urmare, 2/3 este 9 + 9 = 18.
2/3 din 27 este 18.
Răspuns
John K Williamsson a dat un răspuns bun: pentru ceea ce el a numit „suma murdară” a \ frac {1} {2} și \ frac {8} {9} (termenul matematic pentru aceasta este mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
El sugerează să folosiți algebra pentru a demonstra inegalitatea mediantă : dacă a, b, c, d sunt numere pozitive și
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
apoi
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Aș dori să adaug că, la nivelul școlii primare, inegalitatea mediantă nu are nevoie de o dovadă algebrică, este suficient de evidentă.
Într-adevăr considerați fracțiunile \ frac {1} {2} și \ frac {8} {9} ca descrieri ale situațiilor din viața reală:
\ frac {1} {2}: 2 copii au 1 sac de fructe .
\ frac {8} {9}: 9 copii au 8 pungi de fructe.
Se reunesc și împart în mod egal: 1 + 8 pungi de fructe între 2 + 9 = 11 copii, adică formează mediantul:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
În această partajare, ce grup de copii pierde și care câștigă? Desigur, 2 copii cu 1 sac de câștig: au \ frac {1} {2} saci pe cap, celălalt grup vine cu o cotă mai mare pe cap: \ frac {8} {9}. Din același motiv, copiii din cel de-al doilea grup pierd.
Folosesc un exemplu cu copii și saci cu dulciuri în prelegerile mele; aici am înlocuit dulciurile cu fructe mai corecte din punct de vedere politic – poate că trebuie să merg mai departe și să folosesc legume verzi în locul fructelor. Ideea originală aparținea marelui Israel Gelfand, și a fost enunțată într-un limbaj mai colorat:
Puteți explica matematica tuturor, chiar și bețivilor. Dacă întrebați unii oameni care beau vodcă pe o bancă de parc, ce este mai mare, \ frac {2} {3} sau \ frac {3 } {4} , vor răspunde cu explicații. Dar dacă îi întrebați, ce este mai bine, 2 sticle de vodcă pentru 3 oameni sau 3 sticle de vodcă pentru 4 persoane, acestea vă vor oferi instantaneu răspunsul corect: de bineînțeles, 3 sticle pentru 4 persoane.
Și această concluzie instantanee vine dintr-un argument care este inversarea dovezii informale a inegalității mediante: cum se ajunge de la situația „2 sticle pentru 3 persoane” la situația „3 sticle pentru 4 persoane”? Desigur, înseamnă că un al patrulea om vine și aduce cu el o sticlă întreagă – vă puteți imagina, o sticlă întreagă de vodcă! În inegalitatea mediantă,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
sau
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Am văzut câteva lucrări care confirmă că acesta este un model tipic al aritmeticii gândind, așa cum fac oamenii „normali” în situații din viața reală (de exemplu, am văzut o afirmație că este utilizată de asistentele medicale din spital pentru a compara dozele de medicamente, care este mai mare și care este mai mică).