Cel mai bun răspuns
Gavin Song v-a dat deja un răspuns minunat, dar voi face tot posibilul să vă ofer o alternativă mod de a privi această problemă folosind Calcul.
Fapt: Orice elipsă 2D poate fi parametrizată ca
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Unde 0 \ leq t \ leq 2 \ pi și a și b sunt semi-minor și semi-major axele (respectiv razele verticale și orizontale).
Să considerăm că un punct are o modificare în axa x și altul în axa y, să spunem \ Delta y și \ Delta x. Folosind teorema lui Pitagora, știm că lungimea dintre poziția inițială și cea finală a punctului este dată de (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Simplu nu?
Acum, aplicați această logică elipsei parametrizate. Pentru a aproxima perimetrul elipsei am putea „urmări” un punct de pe elipsă de-a lungul mai multor pași în t, măsurăm lungimea dintre locațiile sale la fiecare interval și adăugați-le la final. Dacă încercați să faceți acest lucru singur, veți observa că măsurarea devine din ce în ce mai precisă dacă luăm în considerare intervale din ce în ce mai mici. Deci, pentru a obține perimetrul adevărat, am putea efectua acest proces pentru intervale infinit de mici, care ar da modificări infinit de mici în x și y, să spunem dx și dy. Acest lucru este echivalent cu evaluarea următoarei integrale:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Să perimetrul să fie exprimat ca l. Dacă folosim parametrizarea de mai devreme, putem exprima acest lucru ca
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Totuși, există o captură. Această integrală nu are nicio soluție simbolică decât dacă a = b (ceea ce ne oferă elegant formula perimetrului unui cerc), deci singura noastră opțiune este să folosim metode numerice pentru a obține o bună aproximare. Acest lucru vă poate fi interesant sau dezamăgitor, dar în orice mod sper că a ajutat.
🙂
Răspundeți
Dacă veți suporta cu mine, o voi face ia în considerare această întrebare în sens invers.
Să presupunem că un cerc și o elipsă au arii egale.
Întrebarea mea este „Au aceiași perimetre?”
(Observați că atunci când a = b = r formula este aceeași cu aria cercului.)
Circumferința un cerc este 2πr
Circumferința unei elipse este foarte dificil de calculat!
Oamenii au încercat să găsească formule pentru a găsi circumferința unei elipse, dar majoritatea încercărilor sunt doar aproximări.
Unele metode implică chiar însumarea unor serii infinite!
Celebrul matematician indian Ramanujan a elaborat o formulă foarte bună care este destul de precis.
Rețineți că dacă a = b = r atunci elipsa devine un cerc și formula de mai sus se transformă în formula pentru circumferința cercului C = 2πr .
Dacă înlocuim aceasta în formula sa, obținem:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Să luăm în considerare un exemplu particular în care cercul are o rază de 6 cm și o elipsă are axa majoră de 9 cm și axa minoră 4 cm.
Suprafața cercului = π × 6 × 6 = 36π cm cm
Suprafața elipsă = π × 9 × 4 = 36π sq cm
———————————————— ——————————
Circumferința cercului = 2πr = 12π cm
Circumferința elipsei folosind formula lui Ramanujan este:
————————————————————————————————— ————
Concluzie, dacă cercul și elipsa au aceeași zonă, atunci elipsa are o mai mare circumferință decât cerc .