Cel mai bun răspuns
Două cantități se află în raportul auriu dacă raportul lor este același cu raportul dintre suma lor și cea mai mare dintre cele două cantități.
Acum, dacă lăsăm a și b (b> a) să fie două cantități în raportul auriu, atunci,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Formula quadratică arată că,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(Cealaltă soluție oferă \ frac {a} {b} sau \ varphi ^ {- 1} )
După cum au menționat alții, raportul dintre două numere Fibonacci consecutive se apropie și de \ varphi.
De fapt, pentru orice secvență care îndeplinește relația de recurență (cu valori semințe A\_0, A\_1 nu ambele 0 deoarece ar deveni o secvență constantă ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Limita de \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} ca n \ la 0 abordări \ varphi .
Acest lucru poate fi dovedit lăsând L să fie limita,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Folosind recurența,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Din nou prin multiplicare cu L și folosind formula pătratică puteți arăta că
L = \ varphi \ tag * {}
Răspuns
Construcție după busolă și riglă
Scott Beach a dezvoltat o modalitate de a reprezenta acest calcul al phi într-o construcție geometrică:
După cum Scott împărtășește site-ul său web: Triangle ABC este un tria corect ngle, unde măsura unghiului BAC este de 90 de grade. Lungimea laturii AB este 1 și lungimea laturii AC este 2. Teorema lui Pitagora poate fi utilizată pentru a determina dacă lungimea laturii BC este rădăcina pătrată a 5. latura BC poate fi extinsă cu 1 unitate de lungime pentru a stabili punctul D. Segmentul de linie DC poate fi apoi împărțit (împărțit la 2) pentru a stabili punctul E. Lungimea segmentului de linie EC este egală cu Phi (1.618 …).
Phi nomenal!
Sursă: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/