Cel mai bun răspuns
Asta nu este rotație pentru 45 ^ o. Aceasta este transformarea pentru a roti un vector în \ mathbb {R} ^ 2 cu un unghi \ theta. Puteți obține formula astfel:
Să se rotească vectorul \ mathbf {V} cu un unghi \ theta sub unele transformări pentru a obține noul vector \ mathbf {V „}.
Fie r = | \ mathbf {V} |. Apoi, avem relațiile:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x „= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
De unde aveți relațiile:
v\_x „= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y „= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Aceasta este reprezentată în formă matricială ca
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y „\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Răspuns
Există mai multe modalități de a ataca această problemă.
Prima este să invocăm pur și simplu rotația Euler teorema, care afirmă că orice număr finit de rotații în jurul unui singur punct fix (dar în jurul axelor arbitrare din nd imensiuni) pot fi exprimate ca o singură rotație a unghiului \ theta în jurul unei axe \ hat {n}.
Dacă acceptăm că fiecare rotație este reprezentată de o matrice și că metoda de rotire a unui vector este multiplicarea matricei, apoi rezultă imediat că produsul matricilor de rotație A\_1 A\_2 … A\_n trebuie să fie și o matrice de rotație – altfel am încălcat teorema de rotație a lui Euler.
Întrebarea este, desigur, cum de fapt dovedești această teoremă.
Opera inițială a lui Euler este … brută. Acesta implică multe, multe triunghiuri desenate pe suprafața sferelor (adică triunghiuri neeuclidiene).
Dacă vă place să urmăriți dovada până la sfârșit, pagina de Wikipedia legată mai devreme pare să facă o treabă pe jumătate decentă.
O metodă alternativă (sau, în mod echivalent, un mod secundar de a demonstra teorema lui Euler, cred), este să utilizați proprietățile matricelor de rotație, cu o mică excursie în teoria grupului.
O rotație, matematic vorbind, este orice operație în care distanțele dintre toate punctele din spațiu rămân constante și care lasă un punct, sau set de puncte, fixe (presupunând că suntem pe un spațiu euclidian simplu), pe lângă păstrarea structurii de orientare a obiectului.
În limbajul teoretic de grup, numim aceste operații (pe spațiul euclidian) ) „Grupul ortogonal special în n dimensiuni”, sau SO (n) pe scurt.
Matricile A care sunt membre ale SO (n) sunt definite de următoarele două proprietăți:
- A ^ TA = 1\_n (bitul „ortogonal”)
- \ text {det} (A) = 1 (bitul „special”)
Adică matricile de rotație sunt matrice ortogonale cu una determinantă. Aici 1\_n este matricea identității în n dimensiuni.
Condiția „ortogonalitate” este condiția care asigură păstrarea distanțelor, deoarece în spațiul euclidian avem lungimea unui vector \ mathbf {v} fiind:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Dacă rotim acest vector, astfel încât \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, cu A un vector ortogonal, apoi, prin proprietățile multiplicării matricei:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Prin urmare, distanța d nu a fost afectată de rotație.
Toate matricile ortogonale au determinant \ pm 1, dar cele cu un determinant negativ includ, de asemenea, o reflecție în oglindă în jurul unei axe. Având în vedere că dorim rotații pure, nu reflexe, pentru a păstra orientarea obiectelor din spațiul nostru, ne limităm, așadar, la cei cu determinanți pozitivi – de unde vine bitul „special”.
Faptul că am menționat că aceste structuri formează un grup (cu operația asociată fiind multiplicarea matricei) este de fapt suficient pentru a concluziona că produsul mai multor matrice de rotație este de fapt și o rotație, deoarece grupurile sunt definite ca fiind c pierdut sub operația de grup .
Aceasta înseamnă că oricare două elemente g\_1 și g\_2 dintr-un grup G, cu operație de grup g\_1 \ bullet g\_2 trebuie să returneze un al treilea element, g\_3, care este, de asemenea, membru al grupului G. Prin urmare, dacă A și B sunt matrici de rotație, din definiția unui grup, urmează că A \ bullet B = AB este, de asemenea, o matrice de rotație.
Desigur … aceasta este o ieșire ieftină. Pentru a afirma că SO (n) a fost un grup, trebuie să dovedesc că acest lucru a fost adevărat! De asemenea, poate fi prezentat în mod explicit din următoarele proprietăți generale ale transpunerii și determinantului:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Prin urmare, construim o matrice C = AB, unde A și Bare sunt membri ai SO (n) .
Atunci luăm în considerare:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Din moment ce A ^ TA = 1\_n și B ^ TB = 1\_n și asociativitatea multiplicării matricei.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ times 1 = 1
Prin urmare, vedem că C este o matrice ortogonală, cu unul determinant – adică este un membru al SO (n), și astfel este o matrice de rotație.
Prin urmare, am demonstrat că SO (n) (și într-adevăr O (n)) formează un grup care este închis sub multiplicarea matricii și, prin urmare, prin definiție, concatenarea mai multor rotații este în sine o rotație.
Prin urmare, am demonstrat teorema de rotație a lui Euler.