Cel mai bun răspuns
George Gamow explică modul în care Galileo a ajuns la această formulă în cartea sa „Gravity”.
Galileo studia cadavrele. El a vrut să cunoască relația matematică dintre timpul luat de căderea unui obiect și distanța parcursă. Așa că a făcut un experiment.
A construit un plan înclinat. Apoi a lăsat bilele din diferite materiale să se rostogolească în jos (nu le-a împins). A măsurat distanțele parcurse de minge la sfârșitul primei, a 2-a, a 3-a și a 4-a secunde. Ar fi putut aranja direct căderea liberă a mingii. Dar căderea liberă este destul de rapidă și el nu avea ceasuri bune în acel moment. Prin efectuarea experimentelor pe plan înclinat, el a redus forța de greutate care acționează asupra mingii și a crescut timpul până la atingerea fundului, care depinde de panta planului înclinat. Figura următoare explică acest lucru:
Din figură, putem arăta că,
[math] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Prin urmare, mai mic este x, mai mică va fi mișcarea care provoacă forța și mai mult va fi timpul necesar mingii pentru a ajunge jos. Galileo a constatat că distanțele parcurse de minge la sfârșitul celei de-a 2-a, a 3-a și a 4-a secunde sunt respectiv de 4, 9 și 16 ori distanța parcursă la sfârșitul primei secunde. Aceasta arată că viteza mingii crește în așa fel încât distanțele parcurse de minge cresc pe măsură ce pătratele din timpul călătoriei. Acum întrebarea era cum să relaționăm viteza cu timpul dat mai presus de relația distanță-timp. Galileo a spus că acest tip de relație distanță-timp poate fi obținut numai atunci când viteza mingii este direct proporțională cu timpul. Figura următoare prezintă graficul viteză vs timp al experimentului menționat mai sus și declarația lui Galileo:
În figura de mai sus, punctul A corespunde unei poziții zero a mingii (în partea superioară a planului înclinat) și punctul B corespunde unei mingi cu viteza v la sfârșitul intervalului de timp t. Știm că aria triunghiului ABC ne oferă distanța parcursă de bilă , s, în intervalul de timp (0, t). Prin urmare, distanța parcursă este,
s = \ frac {1} {2} vt.
Dar conform Galileo „s argument, v este direct proporțional cu t ie v = la unde a este accelerație.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} la ^ 2. [/ math]
Deci distanța parcursă crește ca pătratul timpului care a fost observația noastră experimentală. Această formulă oferă distanța parcursă atunci când nu există o viteză inițială dată mingii. Dar când bila are o anumită viteză inițială, u, termenul „ut” se adaugă la formula de mai sus, care este distanța parcursă în timpul t la viteza u. Acest termen va crește doar distanțele măsurate în experimentul nostru, dar va menține aceeași relație distanță-timp. Prin urmare, formula finală este:
s = ut + \ frac {1} {2} la ^ 2.
Răspunde
Când încerci să dovedești ceva legat la numere întregi pozitive, primul dvs. gând ar trebui să fie inducția. Problema este că nu există nicio modalitate imediat evidentă de a continua. Vrem să putem adăuga ceva la ambele părți ale inegalității, dar apoi legătura din partea dreaptă ar crește.
Trucul acestei probleme este de a face legătura mai puternică decât este în prezent. Deci, vom demonstra afirmația aferentă
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
pentru toate numerele întregi pozitive n \ geq 3. Instrucțiunea originală urmează după permițând lui n să se apropie de infinit.
Rețineți că, pentru orice număr întreg pozitiv k, avem
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Știind acest lucru, putem proceda prin inducție.
Deoarece \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, cazul de bază n = 3 este adevărat.
Acum, presupuneți că afirmația este adevărată pentru unii k, și anume că
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Dorim să arătăm că declarația este valabilă și pentru k + 1. Pentru a face acest lucru, adăugați \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} pe ambele părți:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Din inegalitatea pe care am demonstrat-o mai sus, acest lucru se simplifică la
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
care este exact ceea ce am vrut să dovedim.
Prin urmare, prin principiul inducției matematice, afirmația modificată este adevărată pentru toți numerele întregi n \ geq 3, deci și afirmația originală este adevărată.
EDITĂ: După cum a subliniat Predrag Tosic în comentarii, atunci când permitem lui n să se apropie de infinit, semnul rebuie schimbat într-un \ leq cazul în care cele două laturi ale inegalității converg la aceeași valoare.Cu toate acestea, acest lucru poate fi remediat dovedind inegalitatea
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
pentru o valoare mică a \ epsilon ( să spunem, \ dfrac {1} {100}), care pe măsură ce n se apropie de infinit ar avea ca rezultat
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
din care urmează declarația dorită.