Cel mai bun răspuns
Există câteva modalități de a rezolva o ecuație pătratică. Puteți utiliza funcția de rezolvare a suplimentului. Nu sunt prea familiarizat cu modul în care funcționează, dar este o sugestie pentru dvs.
Alte moduri în care sunt familiarizat este crearea unui tabel sau graficarea acestuia.
Să presupunem că avem ecuație simplă: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Acum știm că dacă luăm în calcul acest lucru obținem (x + 5) (x + 2) = 0, aceasta înseamnă x = -2, -5. Dar, în același timp, putem folosi acest lucru ca ghid pentru a vedea cum să verificăm soluția noastră în Excel.
Primul lucru pe care îl putem face este să creăm un tabel Excel. Ceea ce îmi place să fac este să configurez un tabel Excel. Am valorile x în intervalul din stânga de la -50 la 50. După aceea, pot conecta pur și simplu ecuația ca atare:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
sau
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] practic este referința celulei pentru valorile x din coloană (vă voi oferi o imagine despre modul în care funcționează în scurt timp).
Dacă vă uitați la ecuația pe care am primit-o anterior, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Ce înseamnă asta este că setăm y = 0 (deoarece întreaga ecuație este y). Acest lucru înseamnă că, în ceea ce privește tabelul Excel, trebuie să căutăm valori x în partea stângă, care va avea un următor 0 în coloana y. Observați mai jos:
Dacă observați, avem două valori care au un zero lângă ele, -2 și -5. Acestea sunt soluțiile ecuației.
Un alt exemplu ar fi reprezentarea grafică a ecuației dvs. Aici, putem folosi tabelul nostru Excel ca date de serie pentru a trasa punctele.
Trasarea punctelor pe grafic nu o va face evidentă imediat. Așadar, poate fi necesar să reglați minimul și maximul axelor. Pe graficul meu, am ajustat axa x astfel încât să variază de la -10 la 5 și axa y de la -10 la 10.
Dacă observați, graficul traversează x = -2 și traversează în jurul valorii de x = -5. Așa că am reușit să rezolvăm și ecuația grafic.
Răspuns
Înțeleg cu greu că vrei să spui „greu de factorizat”. Să luăm în considerare o expresie generală a lui ax ^ 2 + bx + c.
Pentru a „rezolva” acest lucru, îl setăm egal cu 0 și astfel obținem ax ^ 2 + bx + c = 0. Găsiți x este datoria dvs.
Doamne, ar fi cu adevărat util dacă ar exista o soluție simplă care să funcționeze pentru orice coeficienți generali. Norocos pentru noi, există, și este oarecum ușor de găsit (nu încercați să faceți acest lucru cu ecuații cubice sau mai sus, ei bine, puteți încerca să îl găsiți, dar este FOARTE greu de găsit la acest nivel).
Deci, vrem să ne gândim cu atenție la acest lucru. Care este problema cu rezolvarea pentru x aici?
Într-o ecuație liniară normală, cum ar fi ax + b = 0, este ușor. x este o singură apariție. Problema cu cvadratice este că formatul molest ax ^ 2 + bx, deoarece strategia noastră de a scădea o constantă și a împărți pentru a obține x nu funcționează, trebuie să fie modificată și nu putem folosi cu ușurință factorizarea, deoarece va exista întotdeauna un deficit „x” de unul dacă încercăm să calculăm cu x sau x ^ 2.
La naiba, ce facem atunci? Avem o parte pătrată, asta trebuie să însemne că trebuie cumva să obținem ceva pătrat, cum ar fi (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, unde mai târziu am putea adăuga ca f pentru a fi o constantă pe care o putem scădea cu ușurință ca exemplu de ecuație liniară. În mod clar,? trebuie să conțină un x singular undeva, dar trebuie, de asemenea, să adăugăm o constantă la partea x, deoarece proprietatea distributivă va modifica constanta cu x și o va face la fel de bine cu x și cu sine, și o constantă, creând un „singular x, fără exponent. Vom putea apoi să rădăcinăm pătrat orice constantă avem pe cealaltă parte, și apoi să o rezolvăm ca o ecuație liniară.
Deci, să intrăm în poziția menționată.
Să ne împărțim ecuația originală ambele părți la a, așa că pot obține un x ^ 2 „pur” și nu trebuie să folosesc \ sqrt {a} ca un coeficient care va fi mai complicat.
Obținem x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Bine, deci forma noastră de? trebuie să fie x + k, deoarece nu poate exista un coeficient de x care să nu fie unul, deoarece distribuția nu ar produce un „pur” x ^ 2. Ce este k atunci? Ei bine, să ne gândim aici pentru un pic – vrem să forțăm într-un mod pentru a obține hx = \ frac {b} {a} x. Ori de câte ori pătrat ceva și se adaugă doi termeni, trebuie să folosesc distribuția pentru a merge „în bucăți”. Deoarece atunci când îl pătrat, înmulțesc această cantitate (cei doi termeni fiind însumați) de la sine, voi obține așa cum am menționat x ^ 2 din termenul x, o constantă din termenul k, dar la fel de bine kx trecând prin k în prima cantitate înmulțind x în a doua, și x și k invers, dar le adaug pentru a obține 2kx. [pentru a vedea acest lucru, scrieți (x + k) (x + k), distribuiți pentru a obține (x + k) x + (x + k) k. Acum, distribuiți-l în „desenați” căile pentru a obține x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, ceea ce dă x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Deci, oricare ar fi acest k va fi, trebuie să avem 2kx = \ frac {b} {a} x, dar asta înseamnă k = \ frac {b} {2a}. Ok, ACUM ajungem undeva.Reamintim faptul că suntem pătrat, unele (x + k) ^ 2, iar când extind acest get (x + k) (x + k), urmează o cale de multiplicare prin distribuție. O astfel de cale pe care trebuie să o urmez este de k ori k, dar știm deja ce este k, deci trebuie să avem o constantă k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Deci, haideți să adăugăm asta pe ambele părți, ceea ce putem face, deoarece acest lucru este constant și nu ne pasă ce constantă obținem de cealaltă parte, vrem doar să facem acest lucru în mod corespunzător.
Deci facem exact acest lucru și obținem
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Și acum, avem toți termenii care ne permit să facem acest lucru într-un (x + k) ^ 2 = format constant, exact ceea ce am vrut! Am descoperit că k este \ frac {b} {2a}, deci facem acest lucru.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Acum vrem să ne descurcăm, să observăm că vom ajunge în cele din urmă la rădăcină pătrată odată ce scădem constantele și avem într-un termen un numitor de 4a ^ 2, care este foarte ușor cu rădăcină pătrată. Să facem c / a compatibil cu aceasta, înmulțindu-l cu 1, ceea ce nu schimbă nimic, dar 1 = 4a / 4a. Nu trebuie să ne facem griji cu privire la a = 0, deoarece dacă ar fi, am avea o ecuație liniară, care nu este ceea ce ne concentrăm.
Deci, obținem (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Excelent, deci scade acum al doilea termen, deoarece ei au numitori comuni, iar noi get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Și partea dreaptă este constantă acum , putem rădăcini pătrate ușor ambele părți!
Obținem
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Acest lucru nu este chiar corect, deoarece trebuie să ne dăm seama când rădăcina pătrată este un număr pozitiv, d ^ 2, d ar putea fi pozitiv sau negativ. Deci, pentru o măsură bună, adăugăm un semn plus sau minus și obținem
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Și acum putem scădea că k, deoarece avem acum o ecuație liniară de rezolvat, așa cum am dorit, și obținem
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}