Cel mai bun răspuns
Începeți cu soluția. De exemplu, dacă doriți ca soluția să fie x = 1, atunci factorul corespunzător ar fi x – 1. Deoarece aceasta este singura soluție, va trebui să fie ambii factori, ceea ce face ca ecuația
( x – 1) (x – 1) = 0
sau
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Răspuns
Soluțiile unei ecuații pătratice sunt cele două puncte în care graficul traversează axa x. Adică, cele două valori ale lui x fac ca y zero pe grafic.
Obținem aceste puncte luând în calcul ecuația. Mai întâi rescriem ecuația în forma 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Dacă este suficient de simplă, putem factoriza partea dreaptă prin ochiul ei. De exemplu, dacă ecuația este: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, cu o anumită practică puteți recunoaște că acest factor este 0 = (x + 3) (x + 4).
Motivul factorizarea este atât de importantă este faptul dacă produsul a două numere este egal cu zero, unul dintre termenii TREBUIE să fie zero. Deci, din moment ce avem 0 în partea stângă și un produs în partea dreaptă (x + 3) (x + 4), unul dintre acești termeni trebuie să fie zero.
Deci, fie x + 3 = 0 sau x + 4 = 0. Putem rezolva pentru x în ambele cazuri și obținem x = -3 sau x = -4. Asta înseamnă că graficul ecuației noastre traversează axa x în două puncte, -3 și -4, deci graficul acestei ecuații este o parabolă (toate ecuațiile pătratice sunt parabole) deplasate spre stânga și în jos, deci brațele parabolei traversează axa x la -3 și -4.
Uneori nu este ușor să luați în calcul ecuația prin globul ocular. Putem folosi formula pătratică în acest caz. (Este foarte distractiv să derivăm formula pătratică – dacă nu știți cum și doriți să vă arăt, întrebați.)
Iată formula pătratică:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Pentru a-l testa, dacă conectăm a, b și c din ecuația noastră, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, apoi a = 1, b = 7, c = 12, iar conectarea la formula obținem:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} și \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 și \ frac {-8} {2} = -4. Așa că a funcționat!
Bine, toate acestea sunt preliminare la întrebarea dvs. Întrebarea dvs. este, când sunt soluțiile la o ecuație pătratică infinit. Ei bine, să ne gândim la ce înseamnă asta. În primul rând, este clar că nu este posibil să avem o soluție la infinit, dar cealaltă soluție finită. Dacă ar fi cazul, am avea un număr finit de ori infinit, care nu poate fi egal cu zero.
Deci întrebarea este, este posibil pentru ambele soluții pentru a fi infinit? Cum ar arăta acest lucru?
În formula pătratică, singura modalitate de a-l face infinit ar fi dacă a = 0. Atunci numitorul ar fi zero și, prin urmare, întreaga ecuație ar fi „infinit”. Dar dacă a = 0, atunci ecuația nu mai este pătratică, este liniară, nu? De exemplu, 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 este același cu 0 = 7x + 12. Aceasta este doar o linie, este liniară, nu pătratică. Dar fiecare linie traversează axa x undeva, nu? Singura dată când nu este atunci când este paralelă cu axa x. Adică, atunci când are o pantă de 0. Asta înseamnă că b = 0. Deci, acum avem 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Cu alte cuvinte, 0 = c. Dar apoi c = 0.
Cu alte cuvinte, nu există o astfel de ecuație. Așa cum spunea celălalt răspuns, toate ecuațiile pătratice traversează axa x într-un punct finit. (Observați că aceste puncte nu sunt neapărat reale! Dacă b ^ 2 – 4ac este negativ, atunci ecuația are de fapt rădăcini imaginare. Dar ele sunt încă finite.)