Cel mai bun răspuns
O transformare a matricei este pe dacă și numai dacă matricea are o poziție de pivot în fiecare rând. Reduceți-l la rând și apoi verificați dacă numărul pivotilor este egal cu numărul de rânduri.
Bine, cu asta în afara drumului, trebuie să-mi fac răbdarea acum.
De fiecare dată când cineva aplică adjectivul „pe” sau „liniar independent” la o matrice, mă îndoiesc puțin. Aceasta este o eroare de categorie. În schimb, spuneți „Cum știți dacă o transformare matricială este pe?”
Vedeți, terminologia este foarte importantă în matematică . Frumusețea algebrei liniare este că, având în vedere un sistem liniar sau o transformare liniară, puteți nota o matrice , care este doar un dreptunghi cu numere în ea, asociat cu acel sistem liniar sau transformare liniară. Apoi, făcând diverse lucruri cu caseta de numere vă oferă înapoi tot felul de informații despre sistemul original sau transformare. Algebra liniară este în primul rând studiul acestor relații. Cu toate acestea, majoritatea studenților la algebră liniară, atunci când folosesc terminologia în mod necorespunzător, dezvăluie că nu prea înțeleg cum există de fapt concepte separate de relaționat.
Adjectivul „upon” pur și simplu nu se aplică matricilor. Este ca și cum ai întreba „Cum poți spune dacă un pat are somn?” Faptul că puneți această întrebare înseamnă că nu înțelegeți ce înseamnă somnoros sau ce pat înseamnă sau ambele.
Iată o foaie de trișare cu principalele tipuri de obiecte întâlnite în algebră liniară, împreună cu câteva dintre cele mai comune terminologii folosite pentru a le descrie:
Pentru matrici A, B , următoarele fraze nu sunt tâmpite:
– A este în (forma eșalonului rândului / forma eșalonului rândului redus)
-pivot (poziții / rânduri / coloane ) din A;
-A este (pătrat / diagonală / inversabil / triunghiular superior / triunghiular inferior)
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Polynomial Characteristic) of A
– (spațiu nul / spațiu coloană) din A;
– A este (rând echivalent / similar) cu B
-Transformarea matricei \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Dacă A x = b este un sistem de ecuații liniare , următoarele fraze nu sunt tâmpenii:
– (Soluție / Set de soluții / Soluție generală) a sistemului
-Sistemul are (o soluție unică / fără soluții / infinit de multe soluții / n variabile libere)
-Sistemul este (consecvent / inconsistent / subdeterminat / supradeterminat)
– (Matricea coeficientului / Augmented matrice) a sistemului
Dacă T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m este o transformare liniară , frazele nu sunt gibberi SH. Rețineți că, dacă A este o matrice, atunci se poate vorbi despre transformarea matricei \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, care este o transformare liniară.
– (Domeniu / Codomain / Range) din T
– T este (pe / unu-la-unu / inversabil)
-Matrică standard a T; matrice de T în raport cu bazele \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rang / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polinom) din T
Dacă S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} este set de vectori în \ mathbb R ^ m , următoarele fraze nu sunt gâfâite. Rețineți că, dacă A este o matrice m \ times n, atunci coloanele din A un astfel de set.
– S este liniar (independent / dependent)
-Span de S
-S (întinde V / este o bază pentru V ), unde V este un sub spațiu al \ mathbb R ^ m
Răspuns
O matrice pătrată cu dimensiuni finite este pe doar în cazul în care determinantul său este diferit de zero. Puteți verifica acest lucru cel mai eficient cu eliminarea Gaussian.
Mai general, o matrice dreptunghiulară finită este introdusă doar în cazul în care transpunerea sa este injectivă, care apare doar în cazul în care rândurile (sau coloanele) matricei originale, în funcție de convenția pe care o utilizați pentru ceea ce este de intrare și ce „ieșire” sunt liniar independente, adică matricea are rang complet de rând. Din nou, eliminarea Gaussiană este prietenul tău: pune matricea în forma eșalonului de rând și verifică dacă intrarea din dreapta jos este zero (echivalent, dacă există orice rânduri cu toate zerourile). Matricea este pe dacă și numai dacă intrarea din dreapta jos este diferită de zero.