Dacă înmulțiți o matrice 1×2 cu o matrice 2×1, care sunt dimensiunile matricei rezultate?


Cel mai bun răspuns

1×1

Explicație: Să presupunem , Prima matrice are dimensiunea a * b și a doua matrice are dimensiunea c * d (a & c corespund rândului și b & d corespund coloanei).

Înmulțirea matricei între cele două matrice va fi posibilă numai dacă b = c și matricea rezultată va avea dimensiunea a * d.

Aici a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. ca b = c, putem înmulți atunci și matricea rezultată va avea dimensiunea a * d (1 * 1)

Răspuns

Matricea arbitrară două la două este

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Poate avea un invers multiplicativ A ^ {- 1} cu proprietatea AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, matricea de identitate, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Să găsim inversul, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Avem două sisteme liniare separabile două câte două,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Să o facem pe prima, rezolvând pentru x și z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Din celălalt sistem obținem

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

și similar

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Reunind totul er vedem

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

Cantitatea | A | = \ det (A) = ad-bc se numește determinant . Este diferit de zero exact atunci când matricea are un invers. Determinantul este multiplicativ – determinantul produsului a două matrice pătrate este produsul determinanților lor.

Matricea \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} se numește adjugate denotat \ textrm {adj} (A).

Să verificăm dacă A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Eu, matricea care este zero, cu excepția factorului determinant în diagonală.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

Răspunsul la întrebare este, dacă numitorul nu este zero,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

este matricea pe care o înmulțim cu

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

pentru a obține identitatea.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *