Cel mai bun răspuns
1×1
Explicație: Să presupunem , Prima matrice are dimensiunea a * b și a doua matrice are dimensiunea c * d (a & c corespund rândului și b & d corespund coloanei).
Înmulțirea matricei între cele două matrice va fi posibilă numai dacă b = c și matricea rezultată va avea dimensiunea a * d.
Aici a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. ca b = c, putem înmulți atunci și matricea rezultată va avea dimensiunea a * d (1 * 1)
Răspuns
Matricea arbitrară două la două este
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Poate avea un invers multiplicativ A ^ {- 1} cu proprietatea AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, matricea de identitate, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Să găsim inversul, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Avem două sisteme liniare separabile două câte două,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Să o facem pe prima, rezolvând pentru x și z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Din celălalt sistem obținem
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
și similar
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Reunind totul er vedem
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Cantitatea | A | = \ det (A) = ad-bc se numește determinant . Este diferit de zero exact atunci când matricea are un invers. Determinantul este multiplicativ – determinantul produsului a două matrice pătrate este produsul determinanților lor.
Matricea \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} se numește adjugate denotat \ textrm {adj} (A).
Să verificăm dacă A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Eu, matricea care este zero, cu excepția factorului determinant în diagonală.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Răspunsul la întrebare este, dacă numitorul nu este zero,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
este matricea pe care o înmulțim cu
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
pentru a obține identitatea.