Cel mai bun răspuns
De ce se folosește k ca constantă de proporționalitate?
Nu numai k . a, b, c, d, m, n, p, q sunt câteva litere din alfabetul roman care sunt frecvent utilizate ca constante.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau și \ omega sunt unele litere utilizate frecvent în alfabetul grecesc ca constante.
Înapoi la întrebarea dvs. – nimeni nu știe sigur de ce. Dar cred cu tărie că k este folosit ca constant aproape peste tot, deoarece cuvântul german pentru „constantă” este konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Și ghici ce? prima literă a cuvântului respectiv este k . Și nemții au contribuit enorm la matematică încă din zorii ei.
Sunt condus să cred în acest fel, deoarece, nu numai constanta de proporționalitate, k denotă, de asemenea, unele constante specificate http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Cum ar fi constanta Boltzmann , constanta lui Sierpiński , Constanta lui Khinchin , Constanta Landau – Ramanujan – pentru a numi câteva. Nu pot decât să ghicesc că aceștia (matematicienii în cauză sau cei care i-au numit) erau conștienți și efectuați de cuvântul german „konstante”.
Atât. Vă mulțumim pentru lectură.
Răspuns
Această întrebare evidențiază frumos diferența dintre fizică și matematică.
Nu uitați, scopul oricărei ecuații din fizică, inclusiv a doua lege a lui Newton, este pur și simplu modelarea unei relații „în lumea reală”. Asta înseamnă ce cantități alegem să fie constante și pe care alegem să fie variabile depind în totalitate de situația fizică pe care ecuația este menită să o modeleze.
Având în vedere acest lucru, să trecem la a doua lege a lui Newton. Newton însuși nu și-a exprimat inițial legea în acest fel. Mai degrabă, el l-a exprimat (în cuvinte) ca
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Unde este \ mathbf {F} forța (observați, Forța este un vector), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} este rata de schimbare a impulsului \ mathbf {p} (de asemenea, un vector).
este posibil să se interpreteze acest lucru ca o definiție pentru forță și, în cadrul acestei interpretări, nu este cu adevărat semnificativ să introduceți o constantă de proporționalitate, deoarece o definiție a unei cantități spune de obicei în termeni cei mai direcți, ce este acea cantitate în termeni de altă cantitate.
După cum s-a scris, acesta este desigur un set de trei ecuații, care specifică direcția forței în spațiu. Cu toate acestea, în multe situații fizica situației este de așa natură încât ne-ar putea interesa doar magnitudinea forței și atunci acest lucru se simplifică la
F = \ frac {dp} {dt}
Acum magnitudinea impulsului este dată de p = mv. Cea mai generală expresie pentru derivata în timp a acestei cantități este
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Primul termen din dreapta reprezintă un obiect care se mișcă la o viteză constantă în timp ce masa sa se schimbă, în timp ce al doilea reprezintă un obiect cu o masă constantă care se mișcă la o viteză schimbătoare. Acum, situațiile care ne interesează cel mai adesea pe modelare iau masa obiectului ca fiind o constantă. Asta înseamnă
\ frac {dm} {dt} = 0
Prin urmare, primul termen dispare. Ne-a rămas cu
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Și acum ar trebui să fie evident: În această ecuație, constanta proporționalității este m .
Într-adevăr, dacă am fi vrut să modelăm, de exemplu, o rachetă care se mișcă la o viteză constantă, dar care pierde masă (adică masa sa se schimbă în timp) deoarece scoate combustibilul ca gaz de eșapament care îl propulsează înainte, am scrie în schimb
F = v \ frac {dm} {dt}
o viteză constantă înseamnă
\ frac {dv} {dt} = 0
Prin urmare, al doilea termen din expresia generală de mai sus dispare. Deci, în această ecuație, constanta proporționalității este v.
Ceea ce arată acest lucru, sper, este că orice considerăm că este constanta proporționalității depinde în totalitate de evenimentele din lumea reală și de relațiile dintre ele. De exemplu, m a devenit o constantă de proporționalitate între mărimile forței și accelerației tocmai pentru că am vrut să modelăm o situație în care masa obiectului să fie constantă.În mod similar, v a devenit o constantă de proporționalitate între magnitudinea forței și rata timpului de schimbare a masei tocmai pentru că am vrut să modelăm acel tip de situație.
Permiteți-mi să contrastez acest lucru cu modul în care o abordare pur matematică ar putea arăta ca. Amintiți-vă, distincția este acum că nu ne pasă cu adevărat că ecuațiile modelează realitatea, ne pasă doar că sunt consecvente (și, desigur, că conduc la noi matematici interesante). Deci, făcând doar matematică, sunt perfect liber să iau în considerare masa în orice unități doresc. Pentru a aduce punctul acasă, să alegem ceva ridicol, cum ar fi „blobs” ca unități de masă. Pentru a păstra consistența (și numai din acest motiv) trebuie să definesc relația dintre blob-uri și unități standard, cum ar fi kilogramele. Să presupunem că definesc
1 kilogram = 3 Blobs
Ei bine, cu noile mele unități, acum trebuie să introduc o constantă de proporționalitate în ecuație, deoarece unitățile Forței, Newtonii , nu aveți bloburi în ele. Deci, având în vedere masa în unități de blob-uri, abreviată cu bb, F = ma devine
F = \ frac {1} {3} kma
Unde
k = \ frac {1kg} {1bb} este constanta mea de proporționalitate. Sau, dacă sunt puțin mai eficient din punct de vedere matematic, scriu
F = k „ma
Where
k” = \ frac {1kg} {3bb } este noua mea constantă de proporționalitate care tocmai a absorbit constanta \ frac {1} {3}.
Scopul tuturor este că aceste manipulări sunt pur matematice. Distincțiile implicate nu au nimic de-a face cu relațiile din lumea reală pe care ecuația este menită să le modeleze. Nu au conținut de fizică și de aceea, în esență, nu vedeți niciodată așa ceva *.
În majoritatea situațiilor, singurele constante de proporționalitate pe care le vedeți în fizică sunt cele care ne sunt forțate de fizica situație.
(* Spun „în esență” deoarece există unele situații, în special în electromagnetism, în care astfel de probleme apar din cauza diferitelor tradiții de reprezentare a cantităților, dar majoritatea fizicienilor nu le consideră „probleme fizice” )