Cel mai bun răspuns
Odată îi învățam pe unii elevi de gimnaziu matematică la o școală privată exclusivă. Am avut un elev care era arogant și care mă enerva constant pe mine și pe ceilalți studenți. Administrația nu a susținut încercările mele de a-l disciplina. Am venit cu această soluție:
I-am spus dacă poate găsi un model pentru numerele prime, astfel încât să poată prevedea următorul, ar putea câștiga mulți bani și a fi faimos. I-a plăcut această provocare și a început să se dedice ei. Avea pagini și pagini de calcule și nu m-a mai deranjat niciodată. Din când în când, arătam un anumit interes față de munca lui și el spunea ceva de genul: „Cred că sunt la ceva …”
Știam că nu va găsi nimic, pentru că știam că nu există un model pentru numerele prime. S-ar putea să existe unele zone locale în care se pare că există un model, dar nu există niciun model general și nici o formulă pentru prezicerea URMĂTORULUI număr prim fără TESTARE.
Gândiți-vă în acest fel. Sunteți un om paleolitic care își dă seama că 2, 3, 5, 7, 11 și 13 sunt primari. Te întrebi care va fi următorul prim. Nu există nicio modalitate de a o găsi fără unele teste. Puteți testa 14. Nu. 15, nu. 16, nu. 17, Bingo.
Trebuie doar să testați factorii până la inclusiv rădăcina pătrată a numărului (în cazul 17: 2, 3 și 4), deoarece următorul număr va fi prea mare, dar trebuie să testați. Această testare durează mult timp din punct de vedere calculatic. Aceasta este baza actuală a criptografiei. Dacă am putea prezice următorul prim, toate parolele noastre ar fi goale.
Matematicienii par să urască să recunoască faptul că există acest HAOS în mijlocul numerelor, dar există și mi se pare minunat.
De unde știu că nu există niciun model?
Model: (definiția dicționarului) • un aranjament sau o secvență regăsită REGULAR în obiecte sau evenimente comparabile. • o formă sau o secvență REGULARĂ și inteligibilă care se poate discerne în anumite acțiuni sau situații.
Deci, un MODEL implică REGULARITATE sau REPETIRE. REPETIȚIA implică MULTIPLICAȚIE deoarece MULTIPLICAȚIA este ADĂUGARE REPETITIVĂ. Înmulțirea implică FACTORI și nu putem avea factori dacă este primă.
Calculați: (definiție) determinați (cantitatea sau numărul de ceva) matematic. Nu determinăm dacă un număr este prim MATEMATIC. O facem EXPERIMENTAL.
Cred că primii nu au un MODEL, dar par să aibă anumite TENDENȚE. Au TENDINȚA să devină MAI ÎMPĂRȚITE pe măsură ce cantitățile cresc, dar brusc … vezi două împreună. Acestea se numesc primii gemeni. Exemple: (41, 43), (137, 139). Nimeni nu știe dacă primele gemene, ca primele, sunt infinite. Nu a fost dovedit.
Wikipedia: „Cea mai mare pereche twin twin actuală cunoscută este 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 cu 388.342 cifre zecimale. A fost descoperit în septembrie 2016. ” Twin prime – Wikipedia
La fel ca și pentru primii înșiși, nu există nicio modalitate de a prevedea când vor veni acești primi twin de-a lungul. (S-ar putea să dovedească dacă se termină vreodată. Încercați.)
Unii oameni cred că există „modele” în Spirala Ulam. Ulam spiral – Wikipedia
Oricum, dacă descărcați figura și aruncați-o în aer, veți vedea câteva linii drepte ieșind și apoi DISPARU. Numerele prime sunt infinite. Deci, bineînțeles statistic (în sistemul nostru ARBITRARY Base 10) vor apărea uneori câteva linii drepte, cum ar fi când răsuciți monede, veți obține uneori o serie mare de capete. Cred că va apărea o Spirală diferită dacă utilizați alte forme de umplere a zonei: triunghiuri sau hexagoane.)
Știința este despre găsirea de modele pentru a prezice. Putem prezice când va avea loc următoarea eclipsă de lună, putem prevedea când va răsări soarele mâine, putem prevedea când apa va îngheța și va fierbe, dar NU PUTEM prezice următorul număr prim.
Rezumat: este posibil să puteți ridica șarpele, dar nu știți pe ce cale se va răsuci.
Notă: Acest răspuns este cel mai adesea pe baza răspunsului meu anterior aici:
Răspunsul lui Bill Lauritzen la Există un premiu pentru cine descoperă modelul în numere prime?
Răspuns
Este adevărat că distribuția numerelor prime poate părea aleatorie (și este într-o oarecare măsură). Cu toate acestea, instrumentele teoriei analitice a numerelor ne oferă o perspectivă crucială asupra distribuției numerelor prime și dezvăluie multe tipare interesante
Fie \ pi (x) să reprezinte numărul de numere prime \ leq x unde x este o variabilă reală pozitivă.
Conform teorema numerelor prime , din care nu știu o bună dovadă elementară (cea mai simplă pe care o cunosc folosește analize complexe), următorul lucru este adevărat pentru \ pi (x) pe măsură ce x se apropie de infinit:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~ reprezintă asimptotic echivalență, a cărei idee principală este că funcția \ pi (x) se apropie foarte mult de funcția \ frac {x} {\ log x}, aproximarea devine din ce în ce mai bună pe măsură ce x devine din ce în ce mai mare.
Pentru cei familiarizați cu calculul elementar, f (x) \ sim g (x) dacă limita ca x se apropie de infinitul lui \ frac {f (x)} {g (x)} este 1.
Ca de obicei în matematica superioară, log reprezintă logaritmul natural. Acest lucru implică, de asemenea, că dacă p (n) reprezintă al n-lea prim, atunci:
p (n) \ sim n \ log (n)
Un alt colorar simplu este că dacă alegeți un număr întreg aleatoriu din primele n numere întregi pozitive, probabilitatea ca primul său să fie de aproximativ \ frac {1} {\ log n}
O altă formă a teoremei numerelor prime, care este puțin mai puțin intuitivă dar empiric mai precis este următorul:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
În ambele cazuri, stânga latura este un număr întreg, în timp ce partea dreaptă este o funcție transcendentală oribilă (pe care o putem evalua puțin mai ușor decât stânga în mod ciudat). În orice caz, trebuie să existe o eroare dacă aproximăm \ pi (x) ca \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Nu știu care este cea mai bună eroare legată până acum, dar dacă ipoteza Riemann se dovedește a fi adevărată, putem îmbunătăți eroare legată de:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
În mod similar, dacă legătura de eroare este adevărată, putem dovedi și Riemann ipoteză. Problema legată de această eroare este că este strâns: știm că nu putem face mai bine.
Aș spune că teorema numărului prim este probabil cel mai important și mai interesant rezultat în teoria numerelor analitice
tl; dr, numerele prime urmează asimptotic o distribuție care este ca o funcție analitică relativ ușoară, deci da, există un model.