Cel mai bun răspuns
Răspunsul scurt este, da, intervalul al unei matrice este același cu spațiul coloanei , , dar există o subtilitate.
Având un anumit număr m, putem vedea acest număr fie ca o constantă, , fie ca un mijloc de a defini o funcție liniară, f (x) = mx. Într-un mod similar, putem vedea o matrice \ mathbf {M} fie ca o matrice de numere (plictisitoare), fie ca un mijloc de a defini o funcție liniară f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
Termenul interval se referă la setul de ieșiri pe care f () le poate returna și este de obicei definit ca o proprietate de funcții, nu de numere.
Spațiul coloanei , pe de altă parte, este de obicei definit ca o proprietate a matricei în sine. Și întrucât spațiul coloanei este setul tuturor combinațiilor liniare posibile (alias span ) din coloanele din \ mathbf {M}, aceasta poate fi scrisă ca \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, care este chiar intervalul din f de mai sus.
Răspuns
Intervalul unei matrice este intervalul matricei privit ca o transformare liniară. O matrice n-cu-p (reală) este, de asemenea, o transformare liniară de la R ^ p la R ^ n (spațiul euclidian p-dimensional în spațiul euclidian n-dimensional.) Domeniul este R ^ p și gama constă dintre toate combinațiile liniare ale coloanelor lui A, adică setul \ {Ax: x \ în R ^ p \} (vector de coloană xa)
Dacă A are rang p, atunci intervalul are rang p, iar acest lucru este posibil dacă n> = p.
La fel se aplică pentru o matrice complexă A ca o transformare liniară de la C ^ p la C ^ n unde C este câmpul numerelor complexe.