Spațiul de acoperire al unei Matrice este același cu spațiul de coloană al acelei Matrice?


Cel mai bun răspuns

Răspunsul scurt este, da, intervalul al unei matrice este același cu spațiul coloanei , , dar există o subtilitate.

Având un anumit număr m, putem vedea acest număr fie ca o constantă, , fie ca un mijloc de a defini o funcție liniară, f (x) = mx. Într-un mod similar, putem vedea o matrice \ mathbf {M} fie ca o matrice de numere (plictisitoare), fie ca un mijloc de a defini o funcție liniară f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.

Termenul interval se referă la setul de ieșiri pe care f () le poate returna și este de obicei definit ca o proprietate de funcții, nu de numere.

Spațiul coloanei , pe de altă parte, este de obicei definit ca o proprietate a matricei în sine. Și întrucât spațiul coloanei este setul tuturor combinațiilor liniare posibile (alias span ) din coloanele din \ mathbf {M}, aceasta poate fi scrisă ca \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, care este chiar intervalul din f de mai sus.

Răspuns

Intervalul unei matrice este intervalul matricei privit ca o transformare liniară. O matrice n-cu-p (reală) este, de asemenea, o transformare liniară de la R ^ p la R ^ n (spațiul euclidian p-dimensional în spațiul euclidian n-dimensional.) Domeniul este R ^ p și gama constă dintre toate combinațiile liniare ale coloanelor lui A, adică setul \ {Ax: x \ în R ^ p \} (vector de coloană xa)

Dacă A are rang p, atunci intervalul are rang p, iar acest lucru este posibil dacă n> = p.

La fel se aplică pentru o matrice complexă A ca o transformare liniară de la C ^ p la C ^ n unde C este câmpul numerelor complexe.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *